Triplett-Zustand und Paulis Ausschlussprinzip

Ich habe zwei Elektronen, die sich in einem (symmetrischen) Triplettzustand befinden, in dem einer von ihnen einen nach oben gerichteten Spin hat ( M S = 1 / 2 ) und der andere hat einen Spin, der nach unten zeigt ( M S = − 1 / 2 ), also haben wir

| 1 , 0 ⟩ = ( ↑↓ + ↓↑ ) / 2

Nach dem Ausschlussprinzip von Pauli dürfen die beiden Elektronen nicht den gleichen Satz von Quantenzahlen haben. Da sich die beiden Spinrichtungen jedoch unterscheiden, ist es möglich, dass die entsprechenden räumlichen Wellenfunktionen für die Elektronen beide im Grundzustand ( N = 1 , l = 0 , M l = 0 )? Oder ist es ein Widerspruch dazu, dass es sich um einen Triplett-Zustand handelt?

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Die Spinwellenfunktion ist bezüglich des Teilchenaustausches symmetrisch . Daher muss die räumliche Wellenfunktion antisymmetrisch sein. Dh mindestens eine der Quantenzahlen muss unterschiedlich sein.

Die Wellenfunktion mag so aussehen, als hätten die Elektronen entgegengesetzten Spin, aber tatsächlich sind die Spins gleich, wenn sie an einer Achse gemessen werden, die 90° von z entfernt ist.

BEARBEITEN:

Die Spin-Eigenvektoren verschiedener Achsen sind nicht unabhängig voneinander.

| ↑ ⟩ = 1 2 ( | X + ⟩ + | X − ⟩ ) | ↓ ⟩ = 1 2 ( | X + ⟩ − | X − ⟩ )
Setzen Sie das in Ihre Definition von ein | ψ ⟩ und du wirst bekommen
| ψ ⟩ = 1 2 2 [ ( | X + ⟩ + | X − ⟩ ) ⊗ ( | X + ⟩ − | X − ⟩ ) + ( | X + ⟩ − | X − ⟩ ) ⊗ ( | X + ⟩ + | X − ⟩ ) ] = 1 2 2 [ | X + ⟩ | X + ⟩ − | X + ⟩ | X − ⟩ + | X − ⟩ | X + ⟩ − | X − ⟩ | X − ⟩ + | X + ⟩ | X + ⟩ + | X + ⟩ | X − ⟩ − | X − ⟩ | X + ⟩ − | X − ⟩ | X − ⟩ ] = 1 2 2 [ | X + ⟩ | X + ⟩ − | X − ⟩ | X − ⟩ + | X + ⟩ | X + ⟩ − | X − ⟩ | X − ⟩ ] = 1 2 [ | X + ⟩ | X + ⟩ − | X − ⟩ | X − ⟩ ]

Um die Symmetrie zu überprüfen, benötigen Sie diese Berechnung nicht. Es reicht aus, das zu überprüfen

1 2 ( | ↑ ⟩ | ↓ ⟩ + | ↓ ⟩ | ↑ ⟩ ) = 1 2 ( | ↓ ⟩ | ↑ ⟩ + | ↑ ⟩ | ↓ ⟩ )

Das Pauli-Prinzip besagt, dass beim Vertauschen zweier beliebiger Fermionen Wellenfunktionen negiert werden müssen.

Wie sehen Sie, dass sie in einer bestimmten Richtung den gleichen Spin haben? Genauer gesagt, auf welche Richtung in der xy-Ebene beziehen Sie sich? Ich kann es kaum glauben, weil die Matrix mit reduzierter Dichte jedes Elektrons maximal gemischt ist, und ich würde denken, dass dies eine basisunabhängige Aussage ist.
OK, wenn also die Quantenzahlen der Ortswellenfunktion identisch wären, gäbe es keine Möglichkeit, diese Funktion asymmetrisch zu machen. Zu der Frage, wo ich die Richtung sehen kann: Nun, ich kann sehen, dass man Spin-up hat (also die z-Komponente zeigt nach oben) und man Spin-down hat (z zeigt nach unten)
Danke für die Berechnung, in meinem Buch ging es nicht sehr detailliert darauf ein. Wenn wir also ein Elektron mit einer Reihe von Quantenzahlen haben ( N = 1 , l = 0 , M l = 0 , S = 1 / 2 , M S = 1 / 2 ), können wir nicht sagen, ob ein anderes Elektron mit der config N = 1 , l = 0 , M l = 0 , S = 1 / 2 , M S = − 1 / 2 existiert, es sei denn, wir wissen, dass der Spin asymmetrisch ist, richtig?
Oft beschreiben Menschen einen Mehrteilchenzustand einfach so, als ob er aus verschiedenen einzelnen Teilchen zusammengesetzt wäre. Wenn sie sagen, dass ein Elektron einen Spin nach oben und das andere einen Spin nach unten hat ( | ↑↓ ⟩ ), worüber sie eigentlich sprechen, ist S − | ↑↓ ⟩ welches ist 1 2 ( | ↑↓ ⟩ − | ↓↑ ⟩ )
Triplett-Zustand und Paulis Ausschlussprinzip
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