Mögliche Zustände für zwei Elektronen im Heliumatom

Betrachten Sie das Heliumatom mit zwei Elektronen, aber ignorieren Sie die Kopplung von Drehimpulsen, relativistischen Effekten usw.

Der Spinzustand des Systems ist eine Kombination aus den Triplettzuständen und dem Singulettzustand. Ich werde eine lineare Kombination der drei Triplettzustände als bezeichnen | χ + ⟩ (weil es unter Elektronenaustausch symmetrisch ist) und | χ − ⟩ der Singulett-Zustand (weil er antisymmetrisch ist).

Dann der Orbitalzustand der Elektronen. Angenommen, ein Elektron befindet sich im Zustand | ϕ A ⟩ ; der andere im Staat | ϕ B ⟩ . Der Orbitalzustand des Systems ist:

| ϕ ± ⟩ = 1 2 ( | ϕ A ⟩ | ϕ B ⟩ ± | ϕ B ⟩ | ϕ A ⟩ )

Denn der Gesamtzustand | ψ ⟩ der Elektronen antisymmetrisch sein muss, ist es richtig, sie wie folgt zu konstruieren:

| ψ ⟩ = | ϕ ± ⟩ | χ ∓ ⟩  ?

Tex-Tipp des Tages: Während |und \lvertin Ihren Dokumenten dasselbe Symbol erzeugen können, wird letzteres bevorzugt , weil es explizit das linke Trennzeichen ist. Außerdem rendert MathJax letzteres besser, was für schöner aussehende Kets auf dieser Seite sorgt :)

Antworten (1)

Bei zwei Elektronen hast du Recht! Das absolute Muss ist, dass der Gesamtzustand antisymmetrisch ist. Technisch bedeutet dies, dass die gesamte Wellenfunktion zu einer eindimensionalen Darstellung der Permutationsgruppe gehören muss, sodass jede Permutation je nach ihrer Parität entweder durch +1 oder -1 dargestellt wird.

Sie können die Permutationssymmetrie getrennt für den Spinteil und den Orbitalteil erfragen. Wenn es Anzahl von Elektronen N > 2 , dann können der Orbitalteil und der Spinteil dazu gehören, diese können zu komplizierteren (z. B. mehr als eindimensionalen) Darstellungen der Permutationsgruppe gehören, die von Young-Tableux klassifiziert werden. . Es gibt Regeln, wie zwei "konjugierte" (nicht sicher, ob dies mathematisch korrekte Bezeichnung ist) Darstellungen kombiniert werden, um die gesamte Wellenfunktion antisymmetrisch unter einer beliebigen ungeraden Permutation zu konstruieren. Für N = 2 Diese Regeln reduzieren sich auf ein einfaches Produkt, während Sie zitieren. Weitere Informationen hierzu finden Sie bei Landau und Lifshitz, Quantum Mechanics (The Course of Theoretical Physics vol.III).

Es besteht auch ein systematischer Zusammenhang zwischen den Darstellungen der Permutationsgruppe für den Spinteil und den S U ( 2 ) des Spins. Leider kann ich die Referenz nicht finden, aus der ich das gelernt habe (hoffentlich können andere helfen).

Danke! Ich wurde gerade gebeten, dies in einer Übung zu tun, und obwohl das, was ich tat, intuitiv offensichtlich erschien, wollte ich nur sichergehen. Der Fall für N > 2 sieht aber echt kompliziert aus.
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