Ist die Spin-Rotations-Symmetrie des Kitaev-Modells D2D2D_2 oder Q8Q8Q_8?

Es ist bekannt, dass sowohl der Kitaev-Hamiltonian als auch sein Spin-Flüssigkeits-Grundzustand den brechen$SU(2)$Spinrotationssymmetrie . Was ist also die Spin-Rotations-Symmetrie-Gruppe für das Kitaev-Modell?

Es ist offensichtlich, dass der Kitaev-Hamiltonian invariant ist unter$\pi$Rotation um die drei Drehachsen, und in einigen neueren Arbeiten geben die Autoren die "Gruppe" an (siehe die Kommentare am Ende)$G=\left \{1,e^{i\pi S_x}, e^{i\pi S_y},e^{i\pi S_z} \right \}$, Wo$(e^{i\pi S_x}, e^{i\pi S_y},e^{i\pi S_z})=(i\sigma_x,i\sigma_y,i\sigma_z )$, mit$\mathbf{S}=\frac{1}{2}\mathbf{\sigma}$Und$\mathbf{\sigma}$die Pauli-Matrizen sind.

Aber wie sieht es mit der Quaternion-Gruppe aus?$Q_8=\left \{1,-1,e^{i\pi S_x}, e^{-i\pi S_x},e^{i\pi S_y},e^{-i\pi S_y},e^{i\pi S_z}, e^{-i\pi S_z}\right \}$, mit$-1$Vertretung der$2\pi$Spin-Rotations-Operator. Betrachten Sie andererseits die Diedergruppe$D_2=\left \{ \begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0& -1 & 0\\ 0&0 &-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&0 &-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 &0 \\ 0& -1 & 0\\ 0&0 &1 \end{pmatrix} \right \}$, und diese$SO(3)$Matrizen können auch die implementieren$\pi$Spin-Rotation.

Also, welche Sie wählen,$G,Q_8$, oder$D_2$? Beachte das$Q_8$ist eine Untergruppe von$SU(2)$, während$D_2$ist eine Untergruppe von$SO(3)$. Außerdem,$D_2\cong Q_8/Z_2$, so wie$SO(3)\cong SU(2)/Z_2$, Wo$Z_2=\left \{ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 &1\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right \}$.

Bemerkungen: Die$G$oben definiert ist nicht einmal eine Gruppe , da zB$(e^{i\pi S_z})^2=-1\notin G$.

Bemerkungen: Beachte hier das$D_2$kann nicht als Untergruppe angesehen werden$Q_8$, so wie$SO(3)$kann nicht als Untergruppe angesehen werden$SU(2)$.

Ergänzend: Betrachten Sie als Beispiel ein Zwei-Spin-1/2-System. Wir wollen einige Einblicke gewinnen, welche Arten von Wellenfunktionen erhalten bleiben$Q_8$Spinrotationssymmetrie aus diesem einfachsten Modell. Lassen Sie der Einfachheit halber$R_\alpha =e^{\pm i\pi S_\alpha}=-4S_1^\alpha S_2^\alpha$repräsentieren die$\pi$Spinrotationsoperatoren um Spinachsen$\alpha=x,y,z$, Wo$S_\alpha=S_1^\alpha+ S_2^\alpha$. Also, indem man eine Wellenfunktion sagt$\psi$hat$Q_8$Spin-Rotations-Symmetrie, meinen wir$R_\alpha\psi=\lambda_ \alpha \psi$, mit$\left |\lambda_ \alpha \right |^2=1$.

Nach einer einfachen Rechnung finden wir, dass a$Q_8$Spinrotationssymmetrische Wellenfunktion$\psi$konnte nur eine der folgenden 4 möglichen Formen annehmen :

$(1) \left | \uparrow \downarrow \right \rangle-\left | \downarrow \uparrow \right \rangle$, mit$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(1,1,1)$(Singlet-Zustand mit full $SU(2)$Spin-Rotations-Symmetrie), die durch vernichtet wird$S_x,S_y,$Und$S_z$,

$(2) \left | \uparrow \downarrow \right \rangle+\left | \downarrow \uparrow \right \rangle$, mit$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(-1,-1,1)$, die durch vernichtet wird$S_z$,

$(3) \left | \uparrow \uparrow \right \rangle-\left | \downarrow \downarrow \right \rangle$, mit$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(1,-1,-1)$, die durch vernichtet wird$S_x$,

$(4) \left | \uparrow \uparrow \right \rangle+\left | \downarrow \downarrow \right \rangle$, mit$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(-1,1,-1)$, die durch vernichtet wird$S_y$.

Beachten Sie, dass jede Art von Überlagerung der obigen Zustände keine Eigenfunktion mehr wäre$R_\alpha$und damit würde die brechen$Q_8$Spinrotationssymmetrie.