Warum müssen die Zustände eines Spinmultipletts dieselbe Symmetrie haben?

Definieren$\mathbf{J}=\mathbf{S}_1 + \mathbf{S}_2$Wo$\mathbf{J}$definitionsgemäß ist der Gesamtdrehimpuls zwei identische, sagen wir Spin-halbe, Drehimpulse. Definieren$\sigma$die Operation zu sein, die die beiden Spins austauscht, dh es bezeichnet die Operation:$1\leftrightarrow 2$. Dann sieht man das leicht$\sigma$pendelt mit$\mathbf{J}$als$\mathbf{S}_1 + \mathbf{S}_2=\mathbf{S}_2 + \mathbf{S}_1=\mathbf{J}$. (Das Argument kann auf den Fall der Addition von erweitert werden$N$identische Spins wo$\sigma$wird durch jeden paarweisen Austausch ersetzt, der die Permutationsgruppe in generiert$N$Elemente.)

Wenn wir auf den Fall von zwei Spins zurückkommen, folgt daraus, dass wir gleichzeitig diagonalisieren können$J^2,J_z$Und$\sigma$. Die Aktion von$\sigma$muss unbedingt einen Eigenzustand von annehmen$J^2,J_z$zu einem mit dem gleichen$J^2,J_z$Eigenwerte. Aber die Addition von zwei Drehimpulsen sagt aus, dass die Vielheit von$J^2$Eigenwerte ist eins. Dies gilt nicht, wenn Sie mehr als zwei Drehungen hinzufügen. Daraus folgt, dass für jeden gegebenen Wert von$J^2$, das Multiplett hat eine bestimmte$\sigma$Eigenwert. Seit$\sigma^2=1$, müssen seine Eigenwerte sein$\pm1$.

Allerdings auch nicht$S_{1z}$oder$S_{2z}$pendeln mit$\sigma$. Somit haben wir

$$\sigma\ |\ell,m_1,\ell,m_2\rangle = |\ell,m_2,\ell,m_1\rangle\ ,$$ in der Schreibweise wo $\ell(\ell+1)$ist der $S_i^2$Eigenwert u $(m_1,m_2)$sind die Eigenwerte von $(S_{1z},S_{2z})$bzw. Im Allgemeinen ist die Wirkung von Sigma also nicht diagonal, es sei denn $m_1=m_2$. Kommen wir zum Beispiel von Prof. Balakrishnan. Er betrachtete zwei Spinhalbteilchen. Der $(j=1,m=\pm1)$Zustände entstehen nur, wenn $m_1=m_2=\pm\tfrac12$und aus dem obigen Argument muss symmetrisch sein $(j=1,m=0)$Und $(j=0,m=0)$Zustände entstehen als Linearkombinationen von $m_1=-m_2$Zustand, die nicht diagonal sind. Doch seit dem $(j=1,m=0)$Der Zustand kann mit dem Abwärtsoperator ermittelt werden $J_-$(die mit pendelt $\sigma$), wird es das gleiche haben $\sigma$Eigenwert als der Zustand, aus dem es konstruiert wurde, dh $(j=m=1)$, was symmetrisch ist. Der Singulett-Zustand muss (i) orthogonal zum Triplett sein $m=0$Zustand und muss notwendigerweise ein Eigenzustand von sein $\sigma$(Ich kann das genaue Argument angeben, wenn Sie möchten) (ii) antisymmetrisch.

Für die Summe von N identischen Spins kann man nur sagen, dass zusätzlich zu den Multipletts eine Basis von Multipletts existiert, die durch die Darstellungen der Permutationsgruppe (gegeben durch Young-Diagramme) organisiert/beschriftet sind$J^2$Eigenwert.

Eine der Symmetrien, die in der Physik diskutiert werden, ist die Isotropie des Raums gegen Translationen und Rotationen. Wenn Sie und ich dasselbe Experiment durchführen, ich das Experiment jedoch in einem gedrehten Referenzrahmen durchführe, in dem ich auf dem Kopf stehe, erwarten wir dasselbe Ergebnis. Es ist die Invarianz unter Drehungen, die uns zur Erhaltung des Drehimpulses führt.

(In der Tat ist es hier auf der Erdoberfläche ganz anders, auf meinem Kopf zu stehen, als auf meinen Füßen zu stehen, und als Folge davon bleibt der Drehimpuls in diesem Nicht-Trägheitsrahmen nicht erhalten: Kippen Sie ein Gyroskop und seine Achse wird präzedieren.)

Sofern Sie in Ihrem Hamilton-Operator keinen Begriff haben, der explizit eine bevorzugte Richtung definiert (z. B. Kopplung an ein Magnetfeld), muss jede Eigenschaft Ihres Systems gegenüber einer willkürlichen Wahl von Koordinaten unveränderlich sein. Dazu gehört die Projektion des Drehimpulses gegen eine beliebige Achse.

---

Nehmen wir zum Beispiel an, dass ich Teilchen mit zwei halben Spins in einem Spin-eins-Zustand mit einer großen Spinenergie präpariert habe, wie die zwei Protonen in Orthowasserstoff. Ich bereite einige von ihnen vor, die entlang einer Richtung polarisiert sind, und schicke sie Ihnen. Aber wir kommunizieren falsch und ich gebe sie Ihnen entlang der polarisierten $x$-Achse statt der $z$-Achse. Im $S_z$Basis, die Eigenvektoren von $S_x$Sind $$\left|\rightarrow\right> = \frac{\left|\uparrow\right>+\left|\downarrow\right>}{\sqrt2} \quad\quad \left|\leftarrow\right> = \frac{\left|\uparrow\right>-\left|\downarrow\right>}{\sqrt2}$$ und so analysieren Sie meinen Zwei-Spin-Zustand als $$\begin{align*} \left|\rightarrow\rightarrow\right> &= \frac{\left|\uparrow\right>+\left|\downarrow\right>}{\sqrt2} \otimes \frac{\left|\uparrow\right>+\left|\downarrow\right>}{\sqrt2} \\ &= \frac{\left|\uparrow\uparrow\right>}{2} + \frac{\left|\uparrow\downarrow\right> + \left|\uparrow\downarrow\right>}{2} + \frac{\left|\downarrow\downarrow\right>}{2}. \end{align*}$$

Beachten Sie, wie sich dieser symmetrische Zustand in einer Basis mit allen symmetrischen Zuständen in der anderen Basis überlappt, aber keine Überlappung mit dem antisymmetrischen Zustand hat. Aber das zwingendere Argument für mich ist die thermische Physik. Beim Verflüssigen von Orthowasserstoff müssen Sie etwa doppelt so viel Wärme abführen wie beim Verflüssigen von Parawasserstoff, da sich das Ortho nach dem Dichtesprung in Para umwandelt und die Wärme dieser Umwandlung mit der Verdampfungswärme vergleichbar ist. Wenn die symmetrische,$m_s=0$Zustand spinlosem Parawasserstoff entspricht, legen diese Algebralinien nahe, dass die zum Verflüssigen von polarisiertem Orthowasserstoff erforderliche Wärme je nach der von Ihrem Kühlschrank verwendeten Spinachse unterschiedlich ist. Das würde überhaupt keinen Sinn machen!

Sie können sich selbst davon überzeugen, dass die Projektion von$\left|\uparrow\uparrow\right>$auf die$y$-Achse beinhaltet auch nur symmetrische Kombinationen (Eigenvektoren sind$(1,±i)$), dass das Spinsingulett in jeder Basis antisymmetrisch ist, und so weiter. Insbesondere lässt sich leicht zeigen, dass a symmetrisch ist$m=0$Projektion auf die$x$-Achse enthält nur Projektionen mit$m=±1$auf der$z$-Achse:

$$\begin{align*} \frac{ \left| \rightarrow\leftarrow \right> + \left| \leftarrow\rightarrow \right> }{\sqrt2} &= \frac{1}{\sqrt2} \left( \frac{ \left| \uparrow \right> + \left| \downarrow \right> }{\sqrt2} \otimes \frac{ \left| \uparrow \right> - \left| \downarrow \right> }{\sqrt2} + \frac{ \left| \uparrow \right> - \left| \downarrow \right> }{\sqrt2} \otimes \frac{ \left| \uparrow \right> + \left| \downarrow \right> }{\sqrt2} \right) \\ &= \frac{ \left| \uparrow\uparrow \right> - \left| \uparrow\downarrow \right> + \left| \downarrow\uparrow \right> - \left| \downarrow\downarrow \right> }{2\sqrt2} + \frac{ \left| \uparrow\uparrow \right> + \left| \uparrow\downarrow \right> - \left| \downarrow\uparrow \right> - \left| \downarrow\downarrow \right> }{2\sqrt2} \\ &= \frac{ \left| \uparrow\uparrow \right> - \left| \downarrow\downarrow \right> }{\sqrt2} \end{align*}$$