Term in Lagrange-Invariante unter SO(n)SO(n)SO(n) aber nicht O(n)O(n)O(n)?

Question

Term in Lagrange-Invariante unter SO(n)SO(n)SO(n) aber nicht O(n)O(n)O(n)?

Quanten-Spaghettifizierung

In der Physik der kondensierten Materie oder der Quantenfeldtheorie schreiben wir oft Terme in unserem Lagrangian auf, die unter gegebenen Symmetrien invariant sind. Das Standardmodell ist beispielsweise invariant unter $SU(3)\times SU(2) \times U(1)$ (freie spontane Symmetriebrechung) - während eine typische freie Energie im Heisenberg-Modell ist:

H = \int D^{3} \vec{R} (\frac{1}{2} \nabla_{ich} M_{J} \nabla_{ich} M_{J} + A_{2} \vec{M} \cdot \vec{M} + A_{4} (\vec{M} \cdot \vec{M})^{2} + \dots)

$H=\int d^3\vec r\left(\frac{1}{2} \nabla_i M_j \nabla_i M_j+a_2 \vec M \cdot \vec M+a_4(\vec M \cdot \vec M)^2+\cdots\right)$

Es ist in diesem Fall klar, dass unter invariant ist $SO(3)$ Und $O(3)$ .

Meine Frage ist - im Allgemeinen, welche Begriffe können wir zu Lagrange hinzufügen (in CPM und QFT), um es ausschließlich unter unveränderlich zu machen $SO(n)$ ( $SU(n)$ ) eher, als $O(n)$ ( $U(n)$ )?

Slereah

Terme, die unter Paritätstransformationen nicht unveränderlich sind, wie z. B. Terme mit Kreuzprodukten.

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Term in Lagrange-Invariante unter SO(n)SO(n)SO(n) aber nicht O(n)O(n)O(n)?

Terme, die unter Paritätstransformationen nicht unveränderlich sind, wie z. B. Terme mit Kreuzprodukten.

FrodCube · Answer 1

Nehmen Sie eine Feldtheorie mit einem Skalarfeld $\phi_i$ als Multiplett von $O(N)$ , Wo $i$ ist der $O(N)$ Index.

Sie können zwei Skalarkombinationen konstruieren:

$\phi_i \phi^i$ das ist beides $O(N)$ Und $SO(N)$ unveränderlich
$\epsilon^{i j k \dots}\phi_i \phi_j \phi_k\dots$ das ist $SO(N)$ unveränderlich, aber nicht $O(N)$ unveränderlich.

Ein Lagrangian, der eine Kombination des zweiten Terms enthält, wird also nur sein $SO(N)$ unveränderlich.

EDIT zur Klarstellung: Der Begriff $\epsilon^{i j k \dots}\phi_i \phi_j \phi_k\dots$ ist so geschrieben Null, aber das Hinzufügen von Ableitungen macht es ungleich Null, ohne seine Transformationseigenschaften zu ändern. Zum Beispiel

\partial_{μ} ϕ_{ich} \partial_{v} ϕ_{J} \partial_{σ} ϕ_{k} ϵ^{ich J k} ϵ^{μ v σ ρ} v_{ρ}

$\partial_\mu \phi_i \partial_\nu\phi_j \partial_\sigma \phi_k \epsilon^{ijk}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}V_\rho$

Ist $SO(3)$ unveränderlich und ungleich Null (wobei $V_\rho$ ist ein Lorentz-Vektor).

Ich nehme an, dass wir das in Ihrem zweiten Ausdruck annehmen $\phi_i$ , $\phi_j$ Und $\phi_k$ sind verschiedene Felder - sonst ist dieser Term einfach Null.

Parker · Answer 2

Parker

Die Antwort ist für globale vs. Eichsymmetrien grundlegend anders. Für globale Symmetrien ist die Antwort von FrodCube richtig, aber für Eichsymmetrien in einer Kontinuumsfeldtheorie (wie die, die Sie in Ihrer Frage erwähnen) muss die Eichgruppe verbunden sein, da das Eichfeld kontinuierlich sein muss. Es macht also keinen Sinn, eine getrennte Gauge-Gruppe zu haben $\mathrm{O}(N)$ in einer Kontinuumseichfeldtheorie.

AccidentalFourierTransform

Ich glaube nicht, dass das richtig ist – Eichtheorien mit getrennten Gruppen sind das Brot und Butter mehrerer aktiver Forschungsbereiche. Sprich, Theorien mit Eichgruppen

O (N)

$\mathrm O(N)$ oder auch

Z_{n}

$\mathbb Z_n$ .

Parker

@AccidentalFourierTransform Sie haben vielleicht Recht, ich bin kein Experte - haben Sie Referenzen? Die Leute reden darüber

Z_{n}

$\mathbb{Z}_n$ Gittermaß Theorien die ganze Zeit, aber ich habe noch nie von einem gehört

Z_{n}

$\mathbb{Z}_n$ Kontinuums-Eichtheorie. Wie würde man über eine räumlich glatte Eichtransformation von der Identität losgelöste Teile der Eichgruppe erreichen?

AccidentalFourierTransform

Ich bin auch alles andere als ein Experte, also nimm, was ich sage, mit einem Körnchen Salz. Für eine Eichtheorie vorbei

O (N)

$\mathrm{O}(N)$ Ich habe arxiv.org/abs/1710.06069 gefunden , während für

Z_{n}

$\mathbb Z_n$ Ich denke, Sie brauchen etwas von der Dijkgraaf-Witten-Theorie.

Parker

@AccidentalFourierTransform Etwas schnelles Googeln legt nahe, dass die Dijkgraaf-Witten-Theorie nur auf einem Gitter streng definiert werden kann. Aber ich würde auf jeden Fall Kommentare von Experten darüber begrüßen, wie getrennte Messgerätegruppen funktionieren.

AccidentalFourierTransform

Übrigens, vielleicht finden Sie diesen PSE-Beitrag interessant.

Parker

@AccidentalFourierTransform Nun, das diskutiert den Unterschied zwischen einfach verbundenen und nicht einfach verbundenen Messgerätgruppen, was gut verstanden wird, und beide sind bekanntermaßen für die realistische Physik relevant. Ich denke, Ideen über getrennte Messgerätegruppen sind viel spekulativer.

Term in Lagrange-Invariante unter SO(n)SO(n)SO(n) aber nicht O(n)O(n)O(n)?

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