Ableitung der Rashba-Spin-Bahn-Kopplung im Tight-Binding-Modell

Von der Definition haben wir

$\Psi(\vec{r}) = \sum_i c_i w(\vec{R}_i-\vec{r})$

Wo$w(\vec{R_i}-\vec{r})$ist eine Wannier-Funktion, die auf zentriert ist$\vec{R}_i$und folgt der Orthonormalitätsbedingung

$\int d^3r \left[ w^*(\vec{R_i}-\vec{r}) w(\vec{R_j}-\vec{r}) \right] = \delta_{ij}$

Vom ersten Prinzip an kann man eine Ableitung definieren als:

$\vec{\nabla}w(\vec{R}_i) = \frac{\vec{d}}{d} [w(\vec{R}_i + \vec{d}) - w(\vec{R}_i)]/d$

Grundsätzlich gilt diese Definition nur für$d\rightarrow 0$. In der Praxis verwenden wir es, wenn$d$ist der Abstand zwischen zwei nächsten Nachbarn. ($\vec{d} = d_x \hat{e}_x + d_y \hat{e}_y + d_z \hat{e}_z$)

Jetzt können wir die Impulsoperatoren schreiben als

$\hat{p}_x \Psi = -i \partial_x \sum_i c_i w(\vec{R}_i) = -i \sum_i c_i \hat{e}_x.\vec{\nabla}w(\vec{R}_i) = -i \sum_i c_i \frac{d_x}{d^2}(w(\vec{R}_i+\vec{d})-w(\vec{R}_i))$

Hier schreibe ich nicht die Variable$\vec{r}$Und$\hbar$. Verwenden Sie dies, um das innere Produkt zu bewerten

$\int d^3r \left[ \Psi^\dagger(\vec{r}) \hat{p}_x \Psi(\vec{r})\right] = -i \sum_{i,j} c_i^\dagger c_j \int d^3r \frac{d_x}{d^2}\left[ w^*(\vec{R}_i)(w(\vec{R}_j+\vec{d})-w(\vec{R}_j) \right]$

Aufgrund der Orthonormalität von Wannier-Funktionen liefert dies nur dann einen endlichen Beitrag$\vec{R}_j= \vec{R}_i + \vec{d}$. Daher die Summe über alles$i,j$effektiv auf die Summierung über alles reduziert$i$und seine ersten nächsten Nachbarn. Um anzuzeigen, dass ich verwende$\langle i,j\rangle$als Summenindex.

Daher landen wir bei

$\int d^3r \left[ \Psi^\dagger(\vec{r}) \hat{p}_x \Psi(\vec{r})\right] = -i \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger c_j \frac{d_x}{d^2}$

$\int d^3r \left[ \Psi^\dagger(\vec{r}) \hat{p}_y \Psi(\vec{r})\right] = -i \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger c_j \frac{d_y}{d^2}$

Kombinieren Sie sie

$i \gamma \int d^3 r \left[\Psi(\vec{r})(\sigma_y p_x - \sigma_x p_y) \Psi (\vec{r})\right]\\ = \frac{\gamma}{d^2} \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger (\sigma_y d_x - \sigma_x d_y) c_j \\ =\lambda \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger \hat{e}_z.(\vec{d}\times \sigma) c_j$

Wo$\hat{e}_z = (0,0,1)$ist der Einheitsvektor entlang$z$Achse und

$\hat{e}_z.(\vec{d}\times \vec{\sigma}) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ d_x & d_y & d_z \\ \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z \end{vmatrix} = (d_x \sigma_y - d_y \sigma_x)$

Ich bin vor ein paar Wochen an diesem Problem hängengeblieben und denke, es ist eine einfache Frage, aber es stellt sich heraus, dass die Ableitung des Rashba-Effekts im realen Raum ziemlich kompliziert ist. Der genaue Hamilton-Operator, den Sie vorschlagen, ist nur die Annäherung an das Hopping des nächsten Nachbarn, und es gibt andere Terme höherer Ordnung, wie z. B. den Hopping-Term des nächsten Nachbarn. Die Ableitung hängt stark davon ab, welche Orbitale Sie im System haben (s, p, d ...) und ein spezifisches Beispiel, wie man Rashba Hamiltonian im Realraum in Graphenen erhält, finden Sie in Abschnitt. III des folgenden PRB-Artikels:

Tight-binding-Theorie der Spin-Bahn-Kopplung in Graphenen

Hoffe diese Antwort ist hilfreich :)