Goldstone-Modus als Spinwelle in 2D?

Ich versuche zu verstehen, wie Goldstone-Modi die Fernordnung im 1D- und 2D-Spingitter zerstören. Ich begann mit einer Drehkette unter Verwendung eines 1D-XY-Modells, das eine kontinuierliche Symmetrie aufweist.$H=- \sum_{<i j>} J_{ij}\; \cos(\theta_i-\theta_j)$ohne Außenfeld.

Wenn es auf dieser Kette eine Spinwelle gibt, zerstört eine halbe Wellenlänge die Magnetisierung. Die Energiekosten werden$\Delta E=(-J\cos(\frac{\pi}{N})+J)N$. Als$N\rightarrow \infty$,$\Delta E\rightarrow 0$. Egal wie niedrig die Temperatur ist, dieser Modus zerstört die spontane Magnetisierung.

Aber ich habe Probleme, es in 2D zu verstehen. Die einfachste Konstruktion ist einfach zu setzen$N$Ketten zusammen, und die Energiekosten vervielfachen sich$N$:$\Delta E=(-J\cos(\frac{\pi}{N})+J)N^2$. Aber diesmal als$N\rightarrow \infty$,$\Delta E\rightarrow \frac{\pi^2}{2}J$. Also wenn$k_BT\ll\frac{\pi^2}{2}J$, kann dieser Modus nicht existieren und es findet eine spontane Magnetisierung statt. Ich habe andere mögliche Konstruktionen ausprobiert, wie eine diagonal verlaufende Spinwelle, die nicht funktioniert. Ich habe mir auch die Wirbel im XY-Modell angeschaut, die 4 Spins im Zentrum des Wirbels kosten$4J$und ich glaube, wenn man andere Anleihen summiert, werden die Gesamtkosten gleich oder höher sein als$\frac{\pi^2}{2}J$. Ich denke, ob es möglich ist, die Magnetisierung mit weniger Energie als zu zerstören$\frac{\pi^2}{2}J$. Aber das Mermin-Wagner-Theorem besagt, dass der Goldstone-Modus mit Nullenergie den geordneten Zustand zerstören wird, also muss es etwas geben, das mir fehlt. Ich habe versucht, eine Illustration dieses Modus zu finden, aber die Suche nach „2D-Spinwelle“ oder „2D-Goldstone-Modus“ gibt nur Berechnungen oder Experimente zurück. Also frage ich mich, wie sieht es aus, wie ist die Ausrichtung der Spins genau?