Naive Fragen zu Goldstone-Modi und einer möglichen Dualitätsbeziehung?

Ich sollte sagen, dass Sie 3 verwandte Fragen haben, nämlich 1) Inwieweit können wir den auf HP- und Jw-Transformationen basierenden Annäherungen vertrauen, 2) Die Natur des niedrigen Anregungsspektrums und 3) Die Beziehung zu Goldstone-Modi.

Betrachten wir zunächst das Holstein-Primakoff-Verfahren. Die Spin-Leiter-Operatoren für an einem Standort$j$werden von gegeben

$S^-_j = \sqrt{2S}b_j^\dagger\sqrt{1-\frac{n_j}{2S}}$

und sein Adjunkt, wo$S$ist die Drehung Ihres Modells, in diesem Fall haben wir$S=1/2$. Du machst die Annäherung$S_j^-=\sqrt{2S}b_j^\dagger$, oder mit anderen Worten, das Erweitern der Quadratwurzel und das Verwerfen nichtlinearer Terme, was so lange gut sein sollte$\langle n_j \rangle << S=1/2$. Halbdrehen ist nicht wirklich der beste Fall, um HP zu verwenden, da dies derjenige mit dem größten Fehler in der linearen Annäherung ist. Machen wir trotzdem weiter. Um das Niedrigenergiespektrum zu untersuchen, führen wir Anregung (Magnonen genannt) mit thermischer Verteilung gemäß BE-Statistik ein$\langle n_k\rangle =(e^{\beta\omega_k}-1)^{-1}$und siehe die Korrektur der Magnetisierung$\Delta S(T)=S-\langle S_j\rangle$an jedem Standort. Durch Translationsinvarianz haben wir$\langle n_j\rangle =\frac{1}{N}\sum_j \langle n_j\rangle$. Wir gehen wie üblich zur Impulsdarstellung über

$\Delta S(T)=\int \frac{dk}{2\pi}\frac{1}{e^{\beta\omega_k}-1}$

Leicht zu sehen ist, dass das Integral bei kleinen Impulsen so divergiert$\Delta S \propto \int_\epsilon \frac{dk}{k^2}\propto\frac{1}{k}$. Dies ist nur ein Beispiel für das Mermin-Wagner-Theorem, das besagt, dass es in 1 und 2 Dimensionen keine spontane Symmetriebrechung gibt, da die entsprechenden masselosen Goldstone-Bosonen Infrarot-Divergenzen aufweisen. Sie können überprüfen, ob die Korrektur in 3D so verläuft$\Delta S\propto T^{3/2}$. Ich sehe, Sie interessieren sich für die Nulltemperaturgrenze. Für Fermionentheorien gibt das Luttinger-Ward-Theorem die Bedingungen an, für die die endlichen Temperaturergebnisse in der Nulltemperaturgrenze gelten. Bei Bosonen ist das etwas schwieriger, da man sich mit Bose-Kondensation auseinandersetzen muss. Für den einfachen Fall des Heisenberg-Modells in 1D lässt sich das klassische Ergebnis von Coleman ohne großen Aufwand erweitern, wie er selbst anmerkt, nämlich ein Verbot der spontanen Symmetriebrechung in 1D und folglich das Fehlen von Goldstone-Moden.

Das beantwortet also Frage 3) bezüglich der Goldstone-Moden (es gibt sie nicht) und zeigt, dass Holstein-Primakoff zwar vernünftig sieht, aber schwer interpretierbare Ergebnisse liefert, sobald man von Erregungen spricht.

Was ist mit der Zeugenverwandlung? Es funktioniert hervorragend in 1D. Tatsächlich denke ich, dass es aufschlussreich ist, alle Begriffe zu bearbeiten. Es gibt eine Konvention von Signalen in den Transformationen, aber ich bekomme den vollständigen Hamilton-Operator (im Gitterraum und ohne Berücksichtigung von Begriffen, die nur von abhängen$n_j$und Ignorieren der Grenze, weil es mir um die geht$N\rightarrow \infty$Grenze.)

$H_f=\sum_j -J\frac{1}{2}(f_j^\dagger f_{j+1}+f_{j+1}^\dagger f_j) -Jn_{j+1}n_j$

mit$J>0$. Im Impulsraum ist der erste Term der kinektische, den Sie geschrieben haben. Der zweite ist leicht zu sehen und entspricht einer attraktiven Interaktion. Sobald Sie also Anregungen setzen, müssen Sie sich Gedanken darüber machen, dass die Fermionen gebundene Zustände bilden.

Tatsächlich ist das eindimensionale Heisenberg-Modell durch den Bethe-Ansatz exakt lösbar , und man kann zeigen, dass das Niedrigenergiespektrum aus lückenhaften Bosonen besteht, die aus der Sicht von JW gebundene Zustände sind. Wenn Sie das Endliche verstehen wollen$N$Modellieren ist der Bethe-Ansatz sogar noch besser, da man die exakten Energien und die dazugehörigen Eigenzustände konstruieren kann.

Zusammenfassend ist HP in diesem Fall nicht wirklich vertrauenswürdig, es ist besser, sich JW anzusehen, aber in niedrigen Dimensionen ist im Grunde jede Wechselwirkung stark, egal wie schwach die Kopplung ist, daher lohnt es sich, über die ersten Terme in der Störungstheorie hinauszuschauen. Und wegen der Infrarot-Divergenz gibt es keinen Goldstone-Modus, Boson oder Fermion.

Trotzdem ist bekannt, dass wir in eindimensionalen Systemen kein Spin-Statistik-Theorem haben, d.h. weil es keine einheitliche Definition von Spin gibt. Daher gibt es eine Abbildung von Bosonen auf Fermionen. Dieser Artikel diskutiert die Äquivalenz zwischen Fermionen und Bosonen. Falls Sie weitere Diskussionen wünschen, würde ich das großartige Buch von Giamarchi "Quantenphysik in einer Dimension" empfehlen. Sie finden viel über Luttinger-Flüssigkeiten, Bosonisierung und eine kurze Einführung in den Bethe-Ansatz, komplett mit Niedrigenergie-Anregungen.

Für noch weiterführende Diskussionen des Heisenberg-Modells in 1D gefällt mir „The Theory of Magnetism Made Simple“ von Daniel Mattis sehr gut. Allerdings nicht wirklich so einfach gemacht.

Für eine Beziehung zwischen den Bosonen und Fermionen im Kontext des Heinsenberg-Modells siehe dieses Papier von Luscher , in dem er den Antiferromagneten als Gitterregularisierung des Thirring-Modells diskutiert, von dem Coleman gezeigt hatte, dass es dem Sine-Gordon-Modell entspricht. Es ist möglich, dass das Ferromagnetgehäuse, das Sie interessiert, auch eine ähnliche Beziehung aufweist.

Die Antwort auf den scheinbaren Widerspruch dieser beiden Transformationen (die Anregungen scheinen entweder bosonisch oder fermionisch zu sein) kommt aus der Tatsache, dass die Spins nicht mit den Fermionen äquivalent sind, weil an ihnen eine Schnur befestigt ist, um die kommutative Natur der Spins zu respektieren verschiedenen Websites, siehe JW-Transformation im Wiki .

Daher sind die Spin-Korrelationsfunktionen nicht fermionisch (die Strings stellen dies sicher), obwohl der Hamilton-Operator in Form von Fermionen ausgedrückt wird (ohne Strings, was eine Besonderheit eindimensionaler Systeme ist).

Die Spinanregung ist im Wesentlichen bosonisch, wie auch aus der genauen Zuordnung von Spins zu Hardcore-Bosonen (nicht mehr als ein Boson pro Ort) ersichtlich ist.

Tatsächlich können Sie über die Fermionisierung eindimensionale bosonische Systeme mit dem fermionischen Operator ausdrücken, obwohl die Korrelationsfunktionen die bosonischen Kommutierungsbeziehungen respektieren, dank der an die Fermionen gebundenen Zeichenfolgen.

In den Bosonen-Wechselwirkungstermen höherer Ordnung in der HP-Transformation ist eine wichtige Subtilität verborgen. Wenn Sie Wechselwirkungsterme in alle Ordnungen einbeziehen, stellen Sie fest, dass in jeder Dimension ein Spin-1/2-System über die HP-Transformation genau dual zu einem System von Hardcore- Bosonen ist. In einer Dimension (nur) ist es über die JW-Transformation auch dual zu einem System von Fermionen. Durch die Verkettung dieser beiden Transformationen, wie Sie vorschlagen, stellen wir fest, dass Fermionen in einer Dimension genau dem Hardcore entsprechenBosonen (und beide sind äquivalent zu Spin-1/2-Ketten). Heuristisch liegt das daran, dass es keine Möglichkeit gibt, Partikel beider Typen in 1D umeinander zu flechten, sodass wir uns keine Gedanken über das Minuszeichen des fermionischen Austauschs machen müssen. Die Bosonisierung macht diesen Zusammenhang deutlich: In 1D lassen sich bosonische und fermionische Theorien relativ einfach aufeinander abbilden.

Es ist daher nur eine philosophische Frage, ob die Anregungen einer Spin-1/2-Kette als bosonisch oder fermionisch angesehen werden sollten - beide Bilder sind in verschiedenen Kontexten nützlich. Grob gesagt ist das bosonische Bild für die Numerik normalerweise nützlicher, da der Hilbert-Raum eine einfachere Tensorproduktstruktur hat. Das fermionische Bild ist manchmal nützlicher für analytische Berechnungen, weil die Fermionen schwächer wechselwirken (manchmal sogar frei, wie im transversalen Ising und$XY$Ketten). Andererseits verwenden wir oft die Bosonisierung, um fermionische Systeme auf bosonische Systeme abzubilden, mit denen sich analytisch leichter arbeiten lässt. Und im Bethe-Ansatz sind die bosonischen Anregungen konzeptionell viel natürlicher als die fermionischen.