Anzahl der Goldstone-Modi im Heisenberg-Modell?

Ich bin verwirrt über die Anzahl der im Heisenberg-Modell vorhandenen Goldstone-Modi. Nach einer Holstein-Primakoff-Transformation kann die Energie geschrieben werden als:

H = − J S 2 N z + ∑ k → ε ( k → ) A † ( k → ) A ( k → ) + Terme höherer Ordnung
Wo A † ( k → ) Und A ( k → ) sind bosonische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und:
ε ( k → ) = 2 J S ( 3 − cos ⁡ ( k X A ) − cos ⁡ ( k j A ) − cos ⁡ ( k z A ) )
Für mich weist dies darauf hin 3 unabhängige Goldstone-Modi. Aber ich habe auch gelesen, dass wir einen Goldstone-Modus pro kontinuierlichem Symmetriegenerator kaputt haben sollten - davon würde ich ausgehen 2 Goldstone-Modi. Diese Antwort auf eine verwandte Frage zeigt auch, dass das Heisenberg-Modell eine Ausnahme darstellt.

Meine Frage ist daher: Wie viele Goldstone-Modi hat das Heisenberg-Modell und warum?

3. Warum würden Sie das sagen? Ist das Modell auch mit ferromagnetischen oder antiferromagnetischen Wechselwirkungen? Das ändert in diesem Fall alles.
@Adam Ferromagnetisch. Und 3 Modi, da Sie einen entsprechenden Modus zu haben scheinen k → im X , j oder z Richtung.
Sie machen hier eine große Verwirrung: Die Dimension des Raums (bezogen auf die Anzahl der k Komponenten) hat nichts mit der Anzahl der Goldstone-Moden zu tun (die mit der Anzahl der internen Symmetrien zusammenhängt, die nicht vom Grundzustand gebrochen werden). Beispielsweise hat das O(N)-Modell einen N-1-Goldstone-Modus in jeder Dimension d>2 (was die unterkritische Dimension ist).
@Adam Ok fair, wenn Sie näher darauf eingehen, wo diese Verwirrung liegt, kann dies eine gute Antwort sein.
@Quantumspaghettification Vielleicht hilfreich physical.stackexchange.com/questions/113773/…

Antworten (1)

Momentum einen Goldstone-Modus haben k = ( k X , k j , k z ) erfordert, dass die Energie dort verschwindet, dh ε ( k ) = 0 . In der periodischen Brillouin-Zone [ − π A , π A ] × [ − π A , π A ] × [ − π A , π A ] , dies geschieht nur in der Zonenmitte, k = ( 0 , 0 , 0 ) . Genauer gesagt, für kleine Momente haben wir das

ε ( k ) ≈ J S A 2 ( k X 2 + k j 2 + k z 2 ) .

Wir haben also scheinbar nur einen Goldstone-Modus. Wie reimt sich das darauf, dass die Anzahl der Goldstone-Modi gleich der Anzahl der gebrochenen Symmetriegeneratoren ist (die in diesem Fall tatsächlich zwei sind )?

Die Antwort, dass die obige Faustregel zum Zählen von Goldstone-Modi für relativistische Theorien gilt, bei denen die Goldstone-Modi eine niederenergetische Streuung aufweisen ε ∼ | k | . Im obigen Fall ist unsere Niederenergie-Dispersion jedoch quadratisch . Tatsächlich wird die allgemeinere Formel in diesem Artikel „ On how to count Goldstone bosons “ von Nielsen und Chadha aus dem Jahr 1976 angegeben: die Modi wo ε k ∼ | k | z zähle doppelt wenn z ist gerade. Somit,

# ( kaputte Generatoren ) = # ( Goldstone-Modi mit  z  seltsam ) + 2 # ( Goldstone-Modi mit  z  selbst ) .

Beispiel: Das ferromagnetische Heisenberg-Modell hat einen Goldstone-Mode mit quadratischer Dispersion, während das antiferromagnetische Heisenberg-Modell zwei Goldstone-Moden mit linearer Dispersion hat. In beiden Fällen stimmt dies damit überein, dass die Anzahl der defekten Generatoren zwei beträgt .

Zugehörige Referenz: Unified Description of Nambu-Goldstone Bosons without Lorentz Invariance arxiv.org/abs/1203.0609 @RubenVerresen
Anzahl der Goldstone-Modi im Heisenberg-Modell?
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