In welchem Sinne leben Goldstone-Bosonen in der Nebenklasse?

Question

In welchem Sinne leben Goldstone-Bosonen in der Nebenklasse?

Physik
Goldstone-Modus
Symmetriebruch
Quantenfeldtheorie

JeffDror

Der Satz von Goldstone besagt, dass wenn eine Gruppe, $G$ , wird in seine Untergruppe zerlegt, $H$ , dann erscheinen masselose Teilchen. Die Anzahl der masselosen Teilchen ist durch die Dimension der Nebenklasse gegeben, $G/H$ . Es wird dann oft gesagt, dass die Goldstone-Bosonen in der Nebenklasse leben. Inwiefern ist diese Aussage wahr? Die Lagrange-Funktion ist bei Transformationen der Nebenklasse nicht unveränderlich. Was bedeutet dieses „Leben“ also explizit?

Um explizit zu sein, können wir das lineare Sigma-Modell betrachten:

L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ^{ich} \partial^{μ} ϕ^{ich} - \frac{m^{2}}{2} ϕ^{ich} ϕ^{ich} - \frac{λ}{4} (ϕ^{ich} ϕ^{ich})^{2}

$\begin{equation} {\cal L} = \frac{1}{2} \partial _\mu \phi ^i \partial^\mu \phi ^i - \frac{m ^2 }{2} \phi ^i \phi ^i - \frac{ \lambda }{ 4} ( \phi ^i \phi ^i ) ^2 \end{equation}$

Wir definieren,

\begin{aligned} ϕ_{ich} \equiv π_{ich} \forall ich \neq N \\ ϕ_{N} \equiv σ \end{aligned}

$\begin{align} & \phi _i \equiv \pi _i \quad \forall i \neq N\\ & \phi _N \equiv \sigma \end{align}$ und gebe

σ

$\sigma$ ein VEV.

Der spontan gebrochene Lagrange ist

L = \frac{1}{2} \partial_{μ} π_{ich} \partial^{μ} π_{ich} + \frac{1}{2} (\partial_{μ} σ)^{2} - \frac{1}{2} (2 μ^{2}) σ^{2} - λ v σ^{3} - \frac{λ}{4} σ^{4} - \frac{λ}{2} π_{ich} π_{ich} σ^{2} - λ v π_{ich} π_{ich} σ - \frac{λ}{4} (π_{ich} π_{ich})^{2}

$\begin{equation} {\cal L} = \frac{1}{2} \partial _\mu \pi _i \partial ^\mu \pi _i + \frac{1}{2} ( \partial _\mu \sigma ) ^2 - \frac{1}{2} ( 2 \mu ^2 ) \sigma ^2 - \lambda v \sigma ^3 - \frac{ \lambda }{ 4} \sigma ^4 - \frac{ \lambda }{ 2} \pi _i \pi _i \sigma ^2 - \lambda v \pi _i \pi _i \sigma - \frac{ \lambda }{ 4} ( \pi _i \pi _i ) ^2 \end{equation}$ Die Goldstone-Bosonen,

π_{i}

$\pi_i$ , Ausstellung a

O (N - 1)

$O(N-1)$ Symmetrie, aber das ist nicht die Symmetrie der Nebenklassengruppe. Wo sehen wir diese Symmetrie in der Lagrange-Funktion?

Robin Ekmann

Ich habe das Gefühl, dass ich dieses Thema selbst nicht gut genug verstehe, um eine richtige Antwort zu geben, aber es gibt eine Diskussion darüber in Weinbergs Buch, Band II, Kapitel 19. Insbesondere Abschnitt 19.6 und Nebenklassen werden auf Seite 214 eingeführt.

JeffDror

@RobinEkman: Danke, dass du mich informiert hast. Leider habe ich das Buch nicht. Ich schau mal, wenn ich ein Exemplar in die Finger bekomme.

QMechaniker

Kommentar zum Beitrag (v3): What is

v

$v$ wenn

σ

$\sigma$ ist die VEV?

Antworten (2)

In welchem Sinne leben Goldstone-Bosonen in der Nebenklasse?

Ich habe das Gefühl, dass ich dieses Thema selbst nicht gut genug verstehe, um eine richtige Antwort zu geben, aber es gibt eine Diskussion darüber in Weinbergs Buch, Band II, Kapitel 19. Insbesondere Abschnitt 19.6 und Nebenklassen werden auf Seite 214 eingeführt.
@RobinEkman: Danke, dass du mich informiert hast. Leider habe ich das Buch nicht. Ich schau mal, wenn ich ein Exemplar in die Finger bekomme.
Kommentar zum Beitrag (v3): What is $v$ wenn $\sigma$ ist die VEV?

Friedrich Brünner · Answer 1

Ich verstehe die Aussage so:

Pionen, die Pseudo-Goldstone-Bosonen mit Brechung der chiralen Symmetrie sind, werden durch die Einführung einer einheitlichen Matrix beschrieben $U(x)$ , definiert als

U (x) = exp (2 ich π^{a} (x) T^{a} f_{π}^{- 1}),

$U(x)=\text{exp}\left(2i\pi^a(x)T^af_\pi^{-1}\right),$

wo $\pi^a$ ist das Pionfeld, $f_\pi$ ist die Pion-Zerfallskonstante und $T^a$ sind die Erzeuger der gebrochenen Symmetrie, also des Nebenklassenraums. Der Pion-Lagrangian kann in Bezug auf notiert werden $U(x)$

L = - \frac{1}{4} f_{π}^{2} Tr \partial^{μ} U^{†} \partial_{μ} U,

$\mathcal{L}=-\frac14 f_\pi^2\text{Tr}\partial^\mu U^\dagger\partial_\mu U,$

was sich durch Erweiterung der Exponentialform ergibt

L = - \frac{1}{2} \partial^{μ} π^{a} \partial_{μ} π^{a} + \dots,

$\mathcal{L}=-\frac12\partial^\mu \pi^a\partial_\mu \pi^a+\dots,$

wobei Punkte Terme höherer Ordnung bezeichnen. Somit kann die Aussage, dass Goldstone-Bosonen im Nebenklassenraum leben, mit der Tatsache in Verbindung gebracht werden, dass die Felder selbst mit den Generatoren der Nebenklasse verbunden sind.

Dies kann im Sinne des Goldstone-Theorems verstanden werden: Wenn die ursprüngliche Lagrange-Funktion eine kontinuierliche Symmetrie aufweist, ist die Anzahl der Goldstone-Bosonen gleich der Anzahl der Erzeuger der gebrochenen Symmetrie. Nehmen Sie zum Beispiel das lineare Sigma-Modell: wenn Ihre ursprüngliche Theorie ist $O(N)$ -symmetrisch, es hat $N(N-1)/2$ Symmetrien. Wenn die Symmetrie spontan gebrochen wird, endet man mit $O(N-1)$ , lassen Sie mit $(N-1)(N-2)/2$ Symmetrien. Die Menge der gebrochenen Symmetrien ist die Differenz, dh $N-1$ . Aber das ist genau die Anzahl von Pionen, die Sie in Ihrer Theorie haben. Wir können schlussfolgern, dass die Pionen direkt mit den gebrochenen Symmetrien, dh dem Nebenklassenraum, verknüpft sind.

Vielen Dank für ihre Antwort. Es macht die Sache klarer. Ich habe die Matrix gesehen $U(x)$ aber ich habe die Verbindung nicht hergestellt. So wie ich es mir vorgestellt habe $U(x)$ war eine bequeme Neudefinition des Pionenfeldes, die zu einer schönen Leistungszählung im Impuls der Pionen führt. Steckt da noch mehr dahinter?
Der Punkt ist, dass das Pion-Feld durch die Generatoren dessen definiert wird, was Sie die Nebenklasse nennen, dh $\pi=\pi^a T^a$ . Ich habe es nur mit U(x) erklärt, weil das eine übliche Art ist, sie zu beschreiben.
Was genau macht das Pion-Feld, das von den Generatoren der Nebenklasse definiert wird? Ist es nur, dass sie die gleiche Dimension haben, können wir ihre Indizes als zusammenziehen $\pi=\pi^aT^a$ was zu einer bequemen Feldneudefinition in unserer Lagrangedichte führt?
Danke, ich denke, es fängt an, Sinn zu machen. Die Aussage, dass die Goldsteine in der Nebenklasse leben, ergibt sich also im Wesentlichen aus der Tatsache, dass die Anzahl der Goldsteine gleich der Dimension der Nebenklasse ist, und wir können diese Tatsache verwenden, um eine bequeme Feldneudefinition in Bezug auf die Nebenklassengeneratoren vorzunehmen.

ZweiBs · Answer 2

Es ist sogar sehr einfach, wenn Sie eine andere Parametrierung der Felder verwenden. Da wir uns nur um die Goldstone-Bosonen kümmern, senden Sie einfach $\lambda\rightarrow \infty$ sodass sich der Higgslike-Zustand entkoppelt. Fahren Sie mit der folgenden Parametrierung fort

ϕ_{ich} (x) = U (x) ⟨ ϕ_{ich} ⟩, U (x) = e^{ich {\hat{T}}^{a} π^{a} (x)}, ⟨ ϕ_{ich} ⟩ = {(0, 0, 0 \dots, v)}^{T}

$\phi_i(x)=U(x)\langle \phi_i\rangle \,,\qquad U(x)=e^{i \hat{T}^a \pi^a(x)}\,,\qquad \langle\phi_i\rangle=\left(0,0,0\ldots,v\right)^T$ (wo

{\hat{T}}^{a}

$\hat{T}^a$ sind die kaputten Generatoren) sieht man sofort, dass es eine Eichredundanz in den Definitionen der Pion-Felder gibt

π^{a} (x)

$\pi^a(x)$ da dürfen wir sie mit an drehen

x -

$x-$ abhängige Transformation

h (x)

$h(x)$ der ununterbrochenen Gruppe

H

$H$ , nämlich

ϕ_{ich} (x) = U (x) ⟨ ϕ_{ich} ⟩ = U (x) h (x) ⟨ ϕ_{ich} ⟩ .

$\phi_i(x)=U(x)\langle \phi_i\rangle=U(x)h(x)\langle \phi_i\rangle\,.$ Mit anderen Worten, das Pion-Feld ist nur bis zu dieser Äquivalenz definiert

U (x) \sim U (x) h (x)

$U(x)\sim U(x)h(x)$ , was die Aussage ist, dass sie im Nebenklassenraum leben

G / H

$G/H$ .

Ach, sehr interessant! Woher wissen wir, dass wir in der Lage sind, eine Eichtransformation auf das Vakuum anzuwenden, indem wir nur die kaputten Generatoren verwenden, und zurückkommen $\phi_i$ ? Oder ist das nur die Definition der Parametrisierung der Pion-Felder, $\phi_i$ ?
Vielleicht verstehe ich deine Frage falsch. $h(x)$ ist eine Transformation der ununterbrochenen Gruppe, die mit den ununterbrochenen Generatoren gebaut wurde, nicht mit den gebrochenen. Deshalb sagen wir, dass sie in der richtigen Nebenklasse leben $G/H$ .
Entschuldigung, ich glaube, ich habe mich nicht klar ausgedrückt. Ich meinte, woher wissen wir, dass wir schreiben können, $\phi_i (x) = U (x)\langle \phi_i\rangle$ oder ist das nur die definition der reparametrisierung?
An der Grenze $\lambda\rightarrow\infty$ Sie können sich nur um die minimalen Umlaufbahnen bewegen, was die Aktion ausmacht $U$ tut für dich. Für endlich $\lambda$ Sie können sich auch vom Minimum entfernen. Damit sind alle Möglichkeiten ausgeschöpft.

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