Warum ist bei einem kontinuierlichen Symmetriezusammenbruch eine Überlagerung aller Leerstellen unmöglich?

Ich verstehe das für einen diskreten Symmetriezusammenbruch, bei dem das Wellenfunktional für Ihr Feld beispielsweise zwei Leerzeichen hat | + ⟩ Und | − ⟩ , der Grund, warum der wahre Grundzustand keine Überlagerung dieser beiden sein kann, liegt darin, dass sie durch eine Potentialbarriere getrennt sind und unter der Annahme, dass sich das Feld über ein unendliches Volumen erstreckt, die gesamte Energiebarriere unendlich ist. Tunneln ist also unmöglich.

Aber nehmen wir an, Sie haben eine kontinuierliche Symmetrie und ein Mexikanerhut-Potenzial. Dann haben Sie unendlich viele Leerzeichen, die mit bezeichnet werden | θ ⟩ Wo 0 ≤ θ < 2 π . Wenn ich zwei dieser Staaten auswähle, sagen wir | 0 ⟩ Und | ε ⟩ Wo ε unendlich klein ist, ist die Potentialbarriere zwischen ihnen Null: Die beiden Zustände haben die gleiche Energie und liegen nebeneinander, daher sollte Tunneln erlaubt sein. Und dann hast du erst einmal ab getunnelt | 0 ⟩ Zu | ε ⟩ , zu dem Sie tunneln können | 2 ε ⟩ Dann | 3 ε ⟩ und so weiter den ganzen Weg zurück zu | 0 ⟩ . Sie haben dann eine Überlagerung aller solcher Zustände, und die Überlagerung würde die Symmetrie respektieren.

Außer das passiert nicht. Wo ist der Denkfehler?

Die Vakua sind disjunkt. Für ein unendliches System ist unendlich Energie erforderlich, um von einem Vakuum zum nächsten zu tunneln. Goldstone-Modi bringen Sie nicht von einem Vakuum zum anderen.
@Bruce Die Antwort auf diese Frage löst meine Verwirrung nicht vollständig. Peter sagt, dass jedes Matrixelement zwischen zwei Vakua verschwindet, und ich weiß, dass dies der Fall sein muss, aber ich weiß nicht, warum . Für diskrete Symmetrien gibt es die intuitive Vorstellung, dass Sie eine potenzielle Barriere multipliziert mit einem unendlichen Volumen haben, aber ich weiß nicht, wie dieselbe Idee für kontinuierliche Symmetrie gelten würde, da ein Vakuum ohne Barriere direkt neben dem anderen sein kann.

Antworten (1)

Es ist wahr, dass das Drehen des Feldwerts an einem einzelnen Punkt um einen infinitesimalen Betrag nur infinitesimal wenig Energie kostet ϵ . Aber um das Feld in einen neuen Grundzustand zu bringen, müssen Sie den Feldwert an jedem Punkt drehen. Also die gesamten Energiekosten E = ϵ v , wo die lokalen Energiekosten ϵ ist infinitesimal, sondern das gesamte Raumzeitvolumen v ist unendlich. Ob E endet infinitesimal, endlich oder unendlich hängt von der Reihenfolge der Grenzen ab - ist ϵ "kleiner als v ist unendlich?" Ihr einfaches intuitives Argument ist nicht präzise genug, um diese Frage zu beantworten - Sie müssen eine Berechnung durchführen. Und wenn Sie dies tun, stellt sich heraus, dass die gesamten Energiekosten E zwischen verschiedenen Vakua zu tunneln ist unendlich, aber Sie erhalten Goldstone-Mode-Anregungen, die Sie lokal (wenn auch nicht global) in einen anderen Grundzustand bringen, und diese Goldstone-Moden können beliebig niedrige Energie haben (obwohl streng genommen nicht Null Energie, weil eine genau Der Nullenergie-Goldstone-Modus ist überhaupt keine Anregung und lässt Sie einfach im ursprünglichen Grundzustand zurück).

"Aber Sie erhalten Anregungen im Goldstone-Modus, die Sie lokal (wenn auch nicht global) in einen anderen Grundzustand versetzen." Ich verstehe das intuitiv. Aber was bedeutet das mathematisch? Verschiedene Vakuen sind disjunkt, aber Goldstone-Modi verbinden sie lokal auf irgendeine Weise. Zu welchem ​​Hilbert-Raum gehört ein Goldstone-Modus? @tparker
Warum ist bei einem kontinuierlichen Symmetriezusammenbruch eine Überlagerung aller Leerstellen unmöglich?
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