In Kapitel 11-2-2 diskutieren I&Z den Satz von Goldstone. Sie beginnen mit der Behauptung, dass es sich um einen Operator handeltA
existiert, so dass
δein ( t ) ≡ ⟨ 0 | [ Q ( t ) , A ] | 0 ⟩ ≠ 0(11-30)
die Symmetrie wird spontan gebrochen. In Gl. (11-31) fügen sie eine Vollständigkeitsrelation as ein
1 =∑N| n⟩⟨n |
:
δein ( t )=∑N∫D3X⃗ [ ⟨ 0 |J0( 0 ) | n ⟩ ⟨ n | Ein | 0 ⟩e− Ich P⋅x _-c . _ c . ]=∑N( 2π _)3δ3(P⃗ ) [ ⟨ 0 |J0( 0 ) | n ⟩ ⟨ n | Ein | 0 ⟩e− Ich ET-c . _ c . ](11-31)
Nach der zeitlichen Ableitung in Gl. (11-33), was a herunterbringt
E(P⃗ )
, schließen sie daraus
δ3(P⃗ ) E(P⃗ )
Null sein muss, was zu masselosen Zuständen führt.
Wenn wir jedoch die folgende Vollständigkeitsrelation verwenden würden,
1 =∑N∫D3P⃗ ( 2π _)32E _(P⃗ )| n,P⃗ ⟩ ⟨n , _P⃗ , |
dann würden sich die Energie im Nenner und die Energie aus der zeitlichen Ableitung der Exponentialfunktion aufheben und die Schlussfolgerung von oben würde nicht mehr funktionieren, weil es keine gibt
E(P⃗ )
mehr!
Bearbeiten 1: Ich habe festgestellt, dass Ryders QFT-Lehrbuch (S. 292) sowie Nairs QFT-Lehrbuch (S. 246) dieselbe Vollständigkeitsbeziehung verwenden1 =∑N| n⟩⟨n |
, dh der Beweis geht in die gleiche Richtung wie der in I&Z. Aber warum wählen sie diese Vollständigkeitsrelation?
Edit 2: Vielleicht ist die Antwort, die folgende (off-shell) Vollständigkeitsbeziehung zu nehmen:
1 =∑N∫D4P( 2π _)4| p⟩⟨p |
da würde das keiner geben
E(P⃗ )
im Nenner...?
Bearbeiten 3: Eine weitere Referenz, die verwendet1 =∑N| n⟩⟨n |
: arXiv-Link (Seite 5) und einer, der verwendet1 = ∫D3P( 2π _)3| p⟩⟨p |
: arxiv-Link (Seite 19).
Bearbeiten 4: Eine Referenz gefunden (Warnung, große PDF-Dateigröße), die die Vollständigkeitsbeziehung verwendet1 =∑N∫D3P( 2π _)3|P⃗ ⟩ ⟨P⃗ |
in Gl. (3.2) ebenfalls (Danke an @ChiralAnomaly für den Hinweis!).
ersbygre1
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Chirale Anomalie