Satz von Goldstone, Symmetriebrechung und das Heisenberg-Modell

Das Heisenberg-Modell ist eigentlich ein Beispiel für eine Ausnahme vom Standard-Goldstone-Theorem für die relativistische QFT. Im Standardfall erwarten wir, dass jede gebrochene Symmetrie eine lückenlose Mode mit linearer Dispersion bei kleinen Impulsen liefert. Dies gilt im Allgemeinen nicht für nichtrelativistische Systeme wie das Heisenberg-Modell. Betrachten Sie den Hamilton-Operator

$$\begin{equation} H=-J\sum_{n=1}^N\vec{s}_n\cdot\vec{s}_{n+1}, \end{equation}$$ wobei wir periodische Randbedingungen annehmen $\vec{s}_{N+1}=\vec{s}_1$. Hier beschreiben wir der Einfachheit halber eher eine Spinkette als ein Gitter. Da der Hamilton-Operator die nächsten Nachbarn durch ein Skalarprodukt koppelt, weist der Hamilton-Operator selbst eine Rotationssymmetrie um die auf $x$, $y$, Und $z$Achsen. Im Grundzustand dieses Systems zeigen alle Spins in die gleiche Richtung, die wir als die wählen werden $+z$Richtung; das ist, $$\begin{equation} |0\rangle=|\uparrow,...,\uparrow\rangle. \end{equation}$$ Somit hat das Vakuum oder der Grundzustand der Theorie eine Vorzugsrichtung im Raum gewählt und die ursprüngliche Rotationssymmetrie gebrochen. Eher, $|0\rangle$ist nur bei Drehungen um die invariant $z$-Achse. Sie können diese Tatsache selbst überprüfen, indem Sie mit den Standard-SU(2)-Rotationsoperatoren (einer für jeden Gitterplatz) auf den Grundzustand einwirken. Wir sagen, dass die ursprüngliche SO(3)-Symmetrie zu SO(2) gebrochen wurde. Wir haben in diesem Fall zwei gebrochene Symmetrien, die Drehungen um die entsprechen $x$Und $y$Achsen.

Betrachten Sie nun den folgenden Zustand

$$\begin{equation} |k\rangle=\sum_{n=1}^N e^{ikn}|...,\uparrow,\downarrow_n,\uparrow,...\rangle, \end{equation}$$ das ist eine lineare Kombination von Zuständen mit der $n$-ten Spin nach unten geklappt. Man kann zeigen, dass dieser Zustand ein Energieeigenzustand mit Anregungsenergie (über dem Grundzustand) ist $$\begin{equation} \Delta_E=\hbar^2J(1-\cos(k)), \end{equation}$$ die lückenlos und quadratisch ist $k$für klein $k$. Diese Anregung wird als Magnon bezeichnet. Das Merkwürdige hier ist, dass wir zwei Symmetrien gebrochen haben, aber nur eine einzige Anregung mit quadratischer statt linearer Dispersion gefunden haben. Der Grund dafür ist, dass die beiden Symmetrien, die wir gebrochen haben, nicht unabhängig sind, da die Erzeuger dieser Symmetrien die bekannten Kommutierungsbeziehungen erfüllen $$\begin{equation} [\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k, \end{equation}$$ damit insbesondere $$\begin{equation} [\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z. \end{equation}$$ Durch die Durchführung von Drehungen um die $x$Und $y$Achsen können wir eine Drehung um die erzeugen $z$-Achse.

Die Anzahl der kaputten Generatoren ist genau gleich der Anzahl der Goldstone-Bosonen if

$$\begin{equation} \langle 0|[Q_i,Q_j]0\rangle =0, \end{equation}$$ für alle gebrochenen Symmetriegeneratoren $Q$. Jetzt fragen Sie sich vielleicht, was an der Lorentz-Invarianz so besonders ist. Erinnern Sie sich, dass der Satz von Noether uns sagt, dass erhaltene Ladungen (dh Symmetriegeneratoren) als Integral eines erhaltenen Stroms geschrieben werden können $$\begin{equation} Q=\int j^0(x) d^3x, \end{equation}$$ wohingegen die Lorentz-Invarianz verlangt, dass die Erwartungswerte von Objekten mit freien Lorentz-Indizes verschwinden müssen $$\begin{equation} \langle j^0(x)\rangle=0, \end{equation}$$ Dadurch wird sichergestellt, dass die Anzahl der Goldstone-Bosonen immer gleich der Anzahl der Generatoren für gebrochene Symmetrie in einer relativistischen Theorie ist.

Möglicherweise finden Sie die folgende Referenz nützlich (die Quelle der meisten dieser Informationen). Spontane Symmetriebrechung