Was bedeutet das Fehlen dieser Goldstone-Boson-Wechselwirkungen physikalisch?

Wenn es eine Single gibt$\nabla \theta$Begriff, dies sagt Ihnen, dass die Theorie eine Verschiebungssymmetrie von hat$\theta \mapsto \theta + a$die dich zwischen verschiedenen vaccua bewegt (jedes mit einer anderen$U(1)$Aufladung). Ausdrücke können mit zusätzlichen Goldsteinen protokolliert werden, aber das Prinzip ist das gleiche. Ihr Ausdruck mit$(\theta, \phi)$ist unveränderlich unter$SO(3)$Drehungen, die diese Felder als Winkel behandeln, weiter$S^2$.

Diese Struktur erscheint, weil das Potential in der ursprünglichen Theorie eine Funktion an ist$\mathbb{R}^n$und Goldstones parametrisieren die Untermannigfaltigkeit in$\mathbb{R}^n$was es minimiert. Die Theorie, die ihre Schwankungen beschreibt, muss daher die Interpretation bewahren, dass jedes Goldstone-Feld eine Koordinate auf einem Zielraum ist. Wir tun dies durch das Sigma-Modell

$$\begin{equation} S = \int dx \, G_{ij}(\phi) \nabla \phi^i \cdot \nabla \phi^j \end{equation}$$ Wo$G_{ij}$ist die Metrik des Zielraums. Sie können überprüfen, ob die obigen Beispiele dieses Formular haben. Gäbe es zusätzliche Begriffe wie$G_{ij} \phi^i \phi^j$ohne Derivate,$S$würde nicht mehr der Wirkung entsprechen, die zur Ableitung der geodätischen Gleichung verwendet wird, und daher nicht die "Länge eines Weges" beschreiben.