Spontaner Symmetriebruch bei endlicher Temperatur TTT: Wie wird der Zustand als Funktion von TTT beschrieben?

Dies ist keine einfache Angelegenheit, da spontane Symmetriebrechungen (und allgemeiner Phasenübergänge) nur bei unendlichen Systemen auftreten können.

Ich werde nur die klassische Beschreibung diskutieren, und um die Dinge so einfach wie möglich zu halten, werde ich nur ein diskretes Spinsystem betrachten$\mathbb{Z}^d$, wie das Ising-Modell. Für solche Systeme werden die Zustände mit Wahrscheinlichkeitsmaßen auf der Menge aller unendlichen Konfigurationen von Spins identifiziert.

Beachten Sie, dass Sie für unendliche Systeme die Wahrscheinlichkeitsmaße nicht als proportional zu aufschreiben können$e^{-\beta H}$, da die Energie eines unendlichen Systems im Allgemeinen undefiniert (oder unendlich) ist. Sinnvoll ist immer das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten zweier Konfigurationen, die außerhalb einer endlichen Menge zusammenfallen$\Lambda$. Tatsächlich ist die Energiedifferenz dann endlich (wenn die Wechselwirkungen absolut summierbar sind).

Dies führt zu folgender Charakterisierung der unendlichvolumigen Wahrscheinlichkeitsmaße, die unendliche Systeme von Spins beschreiben:$\mu$ist ein Gibbs-Maß, wenn es die DLR-Gleichungen erfüllt, dh wenn

$$\mu(\sigma \text{ inside }\Lambda \,|\, \omega\text{ outside }\Lambda) = \frac1{Z_{\Lambda;\beta}^\omega} e^{-\beta H(\sigma_\Lambda\omega_{\Lambda^c})}$$ für alle endlichen Mengen von Spins $\Lambda\subset\mathbb{Z}^d$und (fast) alle Konfigurationen $\omega$außen $\Lambda$.

Die Existenz einer Lösung dieser Gleichungen ist im Allgemeinen garantiert. Das Interessante ist jedoch, dass die Eindeutigkeit generell versagt. Für einen gegebenen Hamilton-Operator und bei einer gegebenen inversen Temperatur kann es mehrere Wahrscheinlichkeitsmaße geben, die diese Gleichungen erfüllen. Jeder von ihnen beschreibt einen der Gleichgewichtszustände des Systems.

Unter sehr schwachen Annahmen kann man beweisen, dass die Eindeutigkeit immer bei ausreichend hoher Temperatur gilt. Es kann aber vorkommen, dass es bei niedrigen Temperaturen mehrere gibt. Dies ist, was für das Ising-Modell in Dimensionen passiert$2$und darüber oder für das klassische Heisenberg-Modell in Dimensionen$3$und darüber. In den letzten beiden Fällen wird die Symmetrie des Hamilton-Operators normalerweise in diesen Gibbs-Maßnahmen gebrochen. Zum Beispiel haben Sie im Ising-Modell zwei Maße, die ein System mit positiver bzw. negativer Magnetisierung beschreiben; sie können erhalten werden, indem man ein endliches System mit nimmt$+$, bzw$-$, Randbedingung und Annahme der thermodynamischen Grenze. Alternativ können Sie ein Magnetfeld einleiten (Sie haben einen eindeutigen Zustand in dem Fall) und die Intensität des Magnetfelds auf sich wirken lassen$0$; wenn du es zulässt$h\downarrow 0$, erhalten Sie den positiv magnetisierten Zustand, den Sie bevorzugen$h\uparrow 0$, erhalten Sie den negativ magnetisierten.

Ich höre hier auf, verweise Sie aber auf unser Buch zu diesem Thema, das hier heruntergeladen werden kann , für eine viel ausführlichere und detailliertere Diskussion.

Lassen Sie mich abschließend auf Ihre Frage zurückkommen. Es ist nicht möglich, den Zustand als zu beschreiben$T$variiert (insbesondere beim Überschreiten der kritischen Temperatur), da ein spontaner Symmetriebruch zur Existenz mehrerer unterschiedlicher Zustände führt: einen für jede Realisierung der gebrochenen Symmetrie, zum Beispiel für jede mögliche Richtung der spontanen Magnetisierung. (Beachten Sie, dass Sie möglicherweise auch zusätzliche Zustände erhalten.) Was Sie tun können, ist, die Menge aller Zustände bei einer bestimmten Temperatur zu charakterisieren und zu sehen, ob es Zustände gibt, in denen die Symmetrie gebrochen ist.

Schließlich gelten ähnliche Überlegungen auch für den Quantenfall, jedoch mit erheblichen zusätzlichen Komplikationen.