Bedeutet (spontane) Symmetriebrechung Fernordnung und umgekehrt?

Kristalline Festkörper haben eine Fernordnung (wo die Symmetrie gebrochen ist), aber Flüssigkeiten haben nur eine Nahordnung (wo keine Symmetrie gebrochen ist). Ferromagnete haben eine weitreichende magnetische Ordnung, während sie einem Paramagneten fehlt. Auch das Umgekehrte scheint zuzutreffen, beispielsweise gibt es beim Kosterlitz-Thouless-Übergang keine Symmetriebrechung und keine Fernordnung (aber Quasi-Langstrecke). Unter Fernordnung verstehe ich das unterhalb einer kritischen Temperatur T C die Zweipunkt-Korrelationsfunktion des Ordnungsparameters (Dichte) wird zu einer Konstante (ortsunabhängig).

Ist das eine generische Funktion? Mit anderen Worten, impliziert die Fernordnung notwendigerweise die Symmetriebrechung? Und impliziert die Symmetriebrechung zwangsläufig die Fernordnung?

Symmetriebrechung impliziert Fernordnung (geeigneter Art). Aber es kann eine Fernordnung ohne Symmetriebruch geben.
" Es kann eine langreichweitige Ordnung geben, ohne dass die Symmetrie bricht " Können Sie ein Beispiel geben, was Sie im Sinn haben?
Ok, als triviales Beispiel betrachten wir folgende Variante des Ising-Modells mit einem zusätzlichen 3-Körper-Term: H = − ∑ ich ∼ J σ ich σ J − H ∑ ich σ ich − ϵ ∑ ich ∼ J ∼ k σ ich σ J σ k , Wo ∼ bedeutet "nächster Nachbar". Dieser Hamiltonoperator hat keine innere Symmetrie, wenn ϵ ist nicht Null. Aber das kann man beweisen, für jeden kleinen ϵ > 0 und jede Temperatur, die groß genug ist, kann man einen Wert von finden H so dass eine Fernordnung vorliegt (Existenz von zwei Gibbs-Zuständen mit positiver bzw. negativer Magnetisierung).
Wenn Sie wissen wollen, wie man diese Art von Systemen analysiert, gibt es eine ganze mathematische Theorie, die ihr gewidmet ist: die Pirogov-Sinai-Theorie. Siehe zum Beispiel Kapitel 7 dieses Buches .
@YvanVelenik Da ich Physikstudent bin, ist mir der Link zu Ihrem Buch zu technisch.
Nicht unbedingt (ich war auch Physikstudent). Wir haben das Buch auch für fortgeschrittene Physikstudenten im Grundstudium geschrieben, nicht nur für Mathematiker ...
@YvanVelenik Okay. Trotzdem ist es zu kompliziert und ich brauche etwas Zeit, um es durchzuarbeiten. Danke für den Hinweis.
Toll, ich hoffe es gefällt euch, wenn ihr mal seht, dass es eigentlich gar nicht so involviert ist. Natürlich würde ich nicht raten, mit Kapitel 7 zu beginnen.
Suchen Sie nach einer rigorosen Antwort - dh welche Aspekte davon können bewiesen werden? Oder suchen Sie die „typische“ Intuition dahinter? Außerdem definieren Sie SSB und LRO überhaupt? (Ich meine, es gibt klare Definitionen, aber viele Physiker verwenden sie sogar synonym – ich wurde einmal von einem Kollegen gefragt, „was meinst du überhaupt“, als ich darauf hinwies, dass es a priori unterschiedliche Konzepte waren.)
Ich zweite @NorbertSchuch: Je nach Definition von SSB und LRO sind unterschiedliche Antworten möglich. Das OP sollte seine gewünschte Definition hinzufügen (oder ausdrücklich angeben, dass er mit jeder Definition zufrieden wäre, die ein Antwortender bevorzugen könnte). Rechnet man LRO also zu 'String Orders' hinzu, dann gibt es eindeutige Gegenbeispiele zur vermeintlichen Äquivalenz.
@RubenVerresen Nun, wenn ich wählen müsste, welche Definition ich möchte, würde ich einfach für beide dieselbe wählen. Das würde den Beweis enorm vereinfachen. (Es gibt sowieso klare Konzepte; noch klarer für Gibbs-Zustände als für Grundzustände.) --- Ich bin mir nicht sicher, ob es ganz fair ist, Zeichenfolgenreihenfolgen zu zählen; das problem ist auch ohne das unglaublich kniffelig.
Als Beispiel wird die Variante des Ising-Modells (7.1.1 in Yvans Buch) angesprochen. Yvan sagte, dass dieser Hamiltonoperator keine interne Symmetrie hat, wenn ϵ nicht Null ist. Ich sehe, dass dieses modifizierte Modell die globale Spin-Flipping-Symmetrie verliert, eine offensichtliche Symmetrie, wenn ϵ = 0 . Kann man dennoch das Nichtvorhandensein „irgendeiner inneren Symmetrie“ garantieren? Man kann natürlich jedes klassische Spinmodell mit einem speziellen Quantenmodell identifizieren, indem man alle Pauli-Matrizen einführt, X , j , z . Dann irgendwelche A = A ∗ so dass [ H , A ] = 0 erzeugt eine Symmetrie für H . Es gibt viele solcher Symmetrien.
In 7.1.1 erwähnte Yvan die einzig möglichen Grundzustände η + , η − die durch die globale Spiegelsymmetrie aufeinander abgebildet werden. Aber der Grundzustandsfall ist bekanntermaßen außergewöhnlich. Ich vermute, dass für thermische Gleichgewichtszustände (definiert durch die DLR-Bedingung) eine solche Situation kaum auftritt. Können Sie Ihre Antwort auf die Beziehung zwischen LRO und SSB für den Fall des thermischen Gleichgewichts bei positiver Temperatur geben?

Antworten (1)

Es gibt einige Feinheiten, aber die Antwort lautet in lokalen, translationsinvarianten Systemen aufgrund der Clusterzerlegungseigenschaft im Grunde "Ja" . Empirisch erfüllt praktisch jedes "realistische" physikalische System die Eigenschaft, dass

lim | X − j | → ∞ [ ⟨ A ( X ) B ( j ) ⟩ − ⟨ A ( X ) ⟩ ⟨ B ( j ) ⟩ ] = 0
für alle lokalen Betreiber A ( X ) Und B ( j ) . Mit anderen Worten, die Korrelationen nehmen mit der Entfernung ab, sodass die Erwartungswerte weit entfernter Observablen unkorreliert sind. (Man kann dieses Ergebnis aus verschiedenen technischen Lokalitätsannahmen ableiten.) Wenn M ( X ) ist dann ein lokaler symmetriebrechender Ordnungsparameter ⟨ M ( X ) ⟩ ≡ M ¯ durch Translationsinvarianz konstant ist, also wenn wir lassen A ( X ) = B ( X ) = M ( X ) in der obigen Identität haben wir dann
lim | X − j | → ∞ ⟨ M ( X ) M ( j ) ⟩ = M ¯ 2 .
Die linke Seite, die ungleich Null ist, definiert eine Fernordnung, und die rechte Seite, die ungleich Null ist, definiert eine spontane Symmetriebrechung, also sehen wir, dass eines das andere impliziert.

Die Clustering-Eigenschaft gilt in dieser Form NICHT für entartete Grundzustände, was im Fall von SSB genau das ist, was benötigt wird! Außerdem, wie definieren Sie SSB - Ihr Argument scheint ziemlich zirkulär zu sein! Würden Sie SSB nicht als "wenn ich eine kleine Störung einsetze, erhalte ich eine spontane Magnetisierung" und LRO als "es gibt weitreichende Korrelationen" definieren? --- Ich meine, woher kommt überhaupt die Behauptung der Gleichheit in der zweiten Gleichung?! --- Für mich klingt Ihre Antwort ein bisschen wie "es ist wahr, weil wir wissen, dass es wahr ist".
@NorbertSchuch (a) Die Clustereigenschaft gilt sicherlich für die nicht von Katzen entarteten Grundzustände, die physikalisch beobachtet werden. (b) Ich definiere SSB als „wenn Experimentatoren den symmetriebrechenden Ordnungsparameter messen M ( X ) , finden sie einen Wert ungleich Null.“ (c) Die zweite Gleichheit folgt aus der ersten.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich das eine "Definition" nennen würde, da es sehr stark vom experimentellen Aufbau abhängt, aber so ist es - und ich denke, dies kann tatsächlich eng mit der formalen Definition von SSB zusammenhängen. Ok, dann: Wie definieren Sie LRO?
@NorbertSchuch Die Existenz eines symmetriebrechenden lokalen Ordnungsparameters M ( X ) so dass
lim | X − j | → ∞ ⟨ M ( X )   M ( j ) ⟩ = C ≠ 0.
Im Gegensatz zu SSB kann dies nicht durch lokale Messungen bestimmt werden.
Aber wenn Sie nur Zustände mit der Clustering-Eigenschaft betrachten, ist dies trivialerweise dasselbe. Und kann somit durch lokale Messungen bestimmt werden.
@tparker Danke für die Antwort. Gibt es eine allgemeine Formel wann | X − j | ist endlich (dessen Grenze | X − j | → ∞ gibt Ihre erste Gleichung)?
@NorbertSchuch Die nicht triviale Tatsache, für deren Überprüfung nichtlokale Messungen erforderlich sind, ist, dass physikalische Zustände immer experimentell beobachtet werden, um die Clusterzerlegung zu berücksichtigen. Es gibt immer noch einige theoretische Meinungsverschiedenheiten darüber, warum. Sobald Sie dies akzeptieren, wird die Äquivalenz zwischen SSB und LRO trivial (zumindest in translationsinvarianten Systemen).
@SRS Keine genaue, die im Allgemeinen gilt. Das Verhalten der Korrelationsfunktion ist bei Entfernungen kleiner oder vergleichbar mit der Korrelationslänge sehr systemabhängig ξ . Aber die asymptotische Form der Korrelationsfunktion für Entfernungen, die viel länger als die Korrelationslänge sind, ist typischerweise ein exponentieller Abfall ∼ exp ⁡ ( − | X − j | / ξ ) oberhalb der kritischen Temperatur ein Zerfall nach dem Potenzgesetz ∼ 1 / | X − j | P bei der kritischen Temperatur und der Form ∼ C + exp ⁡ ( − | X − j | / ξ ) unterhalb der kritischen Temperatur.
@tparker Dann solltest du einfach sagen, es ist trivial und das war's. Der nächste Schritt wäre, die heuristische Verbindung zwischen den beiden Konzepten zu erklären, wenn ein Mean-Field-Ansatz (=Clustering-Ansatz) gegeben ist. Aber der Punkt ist, dass die Konzepte unterschiedlich sind: ZB -- wenn Sie die Quantenmaterie vergessen und sich die Gibbs-Zustände ansehen -- LRO wird auch in Gibbs-Zuständen beobachtet, die die Symmetrie NICHT brechen. Das Rätsel ist: Immer wenn es eine Symmetrie gibt und der Gibbs-Zustand LRO hat, dann ist der Gibbs-Zustand mit einer kleinen Störung symmetriebrechend. (Ähnlich für endliche Volumengrundzustände.) Dies ist eine ziemlich nicht triviale ...
... Verbindung, die heuristisch mit einigen gemeinen Feldtyp-Argumenten erklärt werden kann, sich jedoch (AFAIK) strengen Bewertungen widersetzt hat. (Ganz zu schweigen von der quantitativen Beziehung zwischen dem LRO-Wert und der Magnetisierung.) Beachten Sie, dass dies nicht rein mathematisch ist -- zB wird in QMC genau der LRO gemessen, um die (angebliche) spontane Magnetisierung zu berechnen.
Bedeutet (spontane) Symmetriebrechung Fernordnung und umgekehrt?
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