Wie kann man aus ihrer Fourier-Transformation (Impulsraumdarstellung) schließen, dass eine Wechselwirkung attraktiv ist?

Hintergrund: In dem Buch von Altland und Simons, Condensed Matter Field Theory, soll in Aufgabe 4.5.7 die Methode der Effektiven Feldtheorie verwendet werden, um das Phononenfeld in einem wechselwirkenden Elektron-Phonon-System herauszuintegrieren und ein attraktives Elektron- Elektronenwechselwirkung.

Das für die wirksame Aktion gefundene Formular ist

S int = − γ 2 M ∑ Q , ω Q 2 − ω 2 + Q 2 ρ − Q ρ Q
Wo γ > 0 ist eine Kopplungskonstante, M die Elektronenmasse, Q = | Q | ist Schwung, ω Häufigkeit u ρ Elektronendichte ist.

Jetzt schreiben Altland und Simons das wann ω < Q Die Interaktion ist attraktiv. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich diese Schlussfolgerung ziehen soll, da die Aktion in Impulsraumform ist, das heißt, wir haben ihre Fourier-Transformation. Ich kann mir keinen offensichtlichen intuitiven Grund vorstellen, warum es eine Beziehung zwischen dem Vorzeichen einer Funktion und dem Vorzeichen ihrer Fourier-Transformation geben sollte. Vielleicht gibt es einen und ich kann ihn nicht sehen, oder ist hier ein ausgeklügelteres Prinzip am Werk?

Ich habe bei Google etwas namens Bochners Theorem gefunden, das eine Bedingung dafür angibt, dass eine Funktion die Fourier-Transformation einer positiven Funktion ist. Aber ich kann mich nicht erinnern, diesen Satz in einem Physiktext erwähnt zu haben.

Schauen Sie sich das Buch von Anthony Zee an: QFT in a nutshell . Er erklärt, warum durch Teilchen mit Spin 1 vermittelte Wechselwirkungen für gleiche Ladungen abstoßend und für ungleiche Ladungen anziehend sind, während sie für Mediatoren mit Spin 0 oder Spin 2 umgekehrt sind.
Ich erinnere mich, dieses Argument gesehen zu haben, und es könnte aus Zees Buch stammen. Ich werde es noch einmal überprüfen, aber ich glaube nicht, dass es so einfach ist. Das Phononenfeld wird nach außen integriert, so dass es bei dieser Aktion kein vermittelndes Feld gibt. Außerdem könnte Zee Lorentz-Invarianz annehmen, aber ich glaube nicht, dass dieses Problem Lorentz-Invariant ist.

Antworten (3)

Tatsächlich gibt es keine Beziehung zwischen dem Vorzeichen eines Potentials und dem Vorzeichen seiner Fourier-Transformation. Aber warum sollte uns das interessieren?

In der Feldtheorie ist das Kriterium sehr einfach, eine Wechselwirkung ist anziehend, wenn ihr Koeffizient (im Hamilton-Operator) negativ ist, und abstoßend, wenn ihr Koeffizient positiv ist. Nach diesem Kriterium ist die Schlussfolgerung von Altland und Simons eindeutig.

Ich denke, Ihre Verwirrung kann aus dem Bild der klassischen Mechanik resultieren, in der eine anziehende Wechselwirkung ein Potenzial ist, das mit dem Abstand zwischen den Teilchen wächst, sodass die Kräfte zwischen den Teilchen anziehend aufeinander zeigen. Aber hier, im Frequenz-Impuls-Raum, sehen wir keine Vorstellung vom „Abstand zwischen den Teilchen“ und kein Anzeichen für das „Wachstum“ der potentiellen Energie. Wir wissen nicht einmal, was die "Kraft" zwischen Teilchen ist, also wie können wir beurteilen, ob die Wechselwirkung anziehend ist oder nicht? Da der Begriff „Kraft“ in der Feldtheorie verworfen wurde, wird die Attraktivität im feldtheoretischen Kontext anders definiert. Die Energie statt der Kraft wird zu unserem Kriterium. Wenn die Wechselwirkungsenergie mit dem Quadrat der Teilchendichte abnimmt, dann wissen wir, dass die Wechselwirkung anziehend sein muss, damit Teilchen Energie gewinnen können, indem sie zusammenkommen. Dann aus dem Ausdruck ρ − Q ρ Q ist die Dichte zum Quadrat, also können wir nur durch einen Blick auf das Vorzeichen des Koeffizienten davor erkennen, ob die Wechselwirkung anziehend ist oder nicht.

Ja, gerade weil es im Impulsraum keine Vorstellung von physikalischer Distanz gibt, zögere ich, die Schlussfolgerung zu ziehen. Ich denke jedoch, was Sie sagen, ist, wenn ρ † A ρ erscheint wo A ist dann pos/neg im Impulsraum bestimmt A ist auch im realen Raum pos/neg eindeutig, woraus wir Rückschlüsse ziehen können. Ich bin immer noch etwas zögerlich, weil Sie im realen Raum eine positive eindeutige Interaktionsenergie finden könnten, die bei einer Entfernung von 0 nicht minimal ist. Zum Beispiel so etwas wie ϕ ( X ) ( ( X − j ) 4 − ( X − j ) 2 + 3 ) ϕ ( j ) .
Für den Fall in der Frage könnte man jedoch erweitern, wann ω ≪ Q , zur ersten Bestellung Q 2 Q 2 − ω 2 ≈ 1 + ω 2 Q 2 was im realen Raum ist, ist a ϕ 4 und etwas Ähnliches wie eine Coulomb-Wechselwirkung und die Schlussfolgerung folgt. Deine Antwort hat mich zum Nachdenken gebracht. Ich hatte zuvor versucht, den Kernel Fourier zu transformieren und den Faltungssatz anzuwenden, aber ich bin nicht gut genug mit Transformationen.
@RobinEkman Nein, bitte vergiss alles im realen Raum, es ist völlig irrelevant. Das Vorzeichen von A bei einem bestimmten Impuls sagt nichts über das Vorzeichen von A im realen Raum aus. Selbst wenn A im realen Raum positiv ist und sogar A ein lokales Maximum im Abstand 0 hat, können wir immer noch sagen, dass die Wechselwirkung bei einem bestimmten Impuls und einer bestimmten Frequenz anziehend ist! Und das ist in der Tat der Punkt: Die Elektron-Elektron-Wechselwirkung ist im realen Raum abstoßend, aber im Impulsraum kann dieselbe Wechselwirkung bei einem bestimmten Impuls anziehend sein!

Erstens: Sind wir sicher, dass der Zähler q^2 ist? Ich glaube, der BCS-Hamiltonian gibt q/(q^2-omega^2) an. Andernfalls wird es bei q-> unendlich nicht Null sein. Ich gehe davon aus.

Ich denke seit einiger Zeit über genau das gleiche Problem nach. Meine fortlaufende Schlussfolgerung ist folgende: Dieser Ausdruck im q-Raum (relativer Impulsraum) nimmt im Absolutwert monoton ab, so dass seine Fourier-Transformation (Realraum-Wechselwirkung) ebenfalls "lokalisiert" ist (dies funktioniert nur, wenn Sie "ausschmieren") diese Unendlichkeit bei Omega=q mit kleinem Imaginärteil).

Wenn es dann lokalisiert und negativ ist, bedeutet dies, dass es monoton wächst, wenn x zunimmt, wobei x die relative Koordinate ist. Auf der anderen Seite, wenn es positiv ist, dann nimmt es ab.

Macht Sinn?

PS: Das Schreiben im Frequenz-Impuls-Raum sollte kein Problem für die Interpretation des Konzepts von anziehend und abstoßend sein. Es ist eine reine Wahl der mathematischen Darstellung und hat keinen Einfluss darauf, wie die Kräfte ausfallen. Der richtige Weg, dies zu interpretieren, besteht nicht darin, zur klassischen Physik überzugehen, sondern durch die Analyse der relativen Bewegung von Wellenpaketen – ich habe gelernt, diese beiden voneinander zu unterscheiden, indem ich an Exzitonen in einem Kristall und den Unterschied zwischen Frenkel- und Wannier-Exzitonen dachte.

Ich denke nicht, dass dies eine echte Weltraumaussage ist. Die genaue Aussage lautet: Wenn Sie ein Teilchen-Loch-Paar mit Impuls haben Q → und ein weiteres Teilchen-Loch-Paar mit dem entgegengesetzten Impuls (Schauen Sie sich die Definition von an ρ , Sie werden sehen, dass es ein Teilchen-Loch-Paar darstellt), wenn das Austauschphonon eine Frequenz hat, die kleiner als dieser Impuls ist, ist die effektive Wechselwirkung zwischen diesen beiden Teilchen-Loch-Paaren anziehend, weil die Hamilton-Funktion in der (imaginären Zeit) Aktion genauso erscheint selbst und jetzt ist es negativ.

Intuitiv wandert ein Elektron durch ein Ion und polarisiert das Gitter lokal, aber die Anregung des Gitters, das Phonon, schwingt so langsam, dass es das zweite Elektron vorbeigehen sieht, nachdem das erste Elektron es verlassen hat, und weil die Wechselwirkung zwischen Elektron und Ion besteht anziehend, fühlt das zweite Elektron effektiv die Anziehungskraft des ersten.

Wie kann man aus ihrer Fourier-Transformation (Impulsraumdarstellung) schließen, dass eine Wechselwirkung attraktiv ist?
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