Diskretisierung des Hamiltonoperators unter Verwendung endlicher Differenzen immer gerechtfertigt?

[Ich habe dies unter der Annahme beantwortet, dass Sie über die Annäherung an ein Festkörpersystem gesprochen haben, daher ist die Antwort ziemlich speziell. Die Frage, tatsächlich eine Kontinuumsgrenze einer Quantenfeldtheorie zu definieren, ist nicht trivial.]

Der übliche Weg, um die Kontinuumsgrenze zu erreichen, besteht darin, in den Fourier-Raum zu gehen. Da Sie sich auf einem Gitter befinden, landen Sie in einer Brillouin-Zone. Das Nehmen der Kontinuumsgrenze ist jetzt gleichbedeutend damit, die Brillouin-Zone unendlich statt periodisch zu machen. Sie können dann eine reguläre Fourier-Transformation durchführen, um eine kontinuierliche Realraumtheorie zu erhalten. Der Übergang vom Kontinuum zum Gitter ist der umgekehrte Prozess.

Dies, denke ich, macht deutlich, wann Sie diese Transformation durchführen können. Sie können es tun, wenn

1) Sie beschäftigen sich mit Wellenvektoren in einer Region der BZ, die die Größe der BZ nicht kennt. Dazu gehört nicht nur die naive Vermutung kleiner Wellenvektoren, sondern auch sagen wir, Fermionen schließen eine ziemlich große Fermi-Fläche. Und natürlich müssen alle äußeren Störungen an diesen kleinen Bereich ankoppeln.

2) Sie sind nicht besorgt über Prozesse, die die Periodizität des Gitters kennen. Also keine Umklapp-Streuung, keine Verschachtelung von Fermi-Oberflächen usw. Dies kann beides sehr wichtig sein. Zum Beispiel hat Ihr Gittermodell auf dem quadratischen Gitter bei halber Füllung perfekte Verschachtelungsvektoren. Diese führen zu antiferromagnetischen Zuständen, die im Kontinuumsmodell keine Entsprechung hätten (glaube ich).

Eine andere Art, über Pt nachzudenken. (2) ist, dass Ihre Kontinuums- und Gittermodelle völlig unterschiedliche Symmetriegruppen haben. Ihr Kontinuumsmodell hat kontinuierliche Übersetzungen$\mathbb{R}^n$während das Gittermodell Symmetrien aufweist$\mathbb{Z}^n$. Jedes Mal, wenn Sie die Symmetrien ändern, sollten Sie vorsichtig sein.

Sie haben auch unterschiedliche Rotationssymmetrien. Ich sehe in Ihrem speziellen Modell, dass Sie auch eine spezielle Erweiterung der Dispersionsrelation vorgenommen haben, indem Sie genommen haben$E = p^2/2m - \mu$im Kontinuum. Dadurch erhalten Sie eine sphärische Fermi-Oberfläche, während das Gittermodell eine extrem asphärische Form haben kann (wie das halbfüllende Modell). In vielen Lebenslagen ist das eigentlich in Ordnung und führt nur zu zahlenmäßigen Abweichungen, aber im Extremfall sollte man sich dessen bewusst sein. Sie können jederzeit die Streuung ändern$E = v_F(p-p_F)$Wo$v_F$Und$p_F$hängen vom Winkel ab. Achten Sie auch darauf, nicht versehentlich Rotationssymmetrien beizubehalten oder zu zerstören, die im Gittermodell nicht vorhanden sind. Diese entsprechen normalerweise irrelevanten Operatoren, aber seien Sie sich auch hier bewusst, seien Sie vorsichtig.