Warum versagt die Landau-Theorie nicht, wenn es um einen Phasenübergang erster Ordnung geht?

Question

Warum versagt die Landau-Theorie nicht, wenn es um einen Phasenübergang erster Ordnung geht?

Benutzer21090

Hier ist ein Problem, bei dem ich die Berechnung durchführen kann, aber ich verstehe die Philosophie dahinter nicht. Es geht um die Landau-Theorie :

Die Landau-Theorie der Phasenübergänge basiert auf der Idee, dass die freie Energie eines Systems als Potenzreihe des Ordnungsparameters entwickelt werden kann. Für einen Phasenübergang zweiter Ordnung entwickelt der Ordnungsparameter einen Erwartungswert, der sich kontinuierlich von Null aus entwickelt, sodass diese Potenzentwicklung eine solide mathematische Grundlage hat. Für einen Phasenübergang erster Ordnung erhält der Ordnungsparameter jedoch niemals einen infinitesimalen Wert, da es einen Sprung im Ordnungsparameter gibt. Wenn ja, warum wird die Landau-Theorie immer noch häufig für den Phasenübergang erster Ordnung verwendet, selbst wenn die Entwicklung beim Phasenübergang nicht gültig zu sein scheint?

kb56

Der Sprung, den Sie beobachten, kann durch Hinzufügen eines kubischen Terms (unter anderem) zum Landau-Ausdruck für freie Energie abgeleitet werden. Die Stetigkeitsbedingung ergibt sich aus dem Zwingen des Landau-Ausdrucks, eine gerade Funktion zu bleiben. Ich hatte gehofft, dies als Kommentar hinzuzufügen, aber es sieht so aus, als bräuchte ich dafür eine gefälschte Währung.

Jan Velenik

Ja, grundsätzlich muss man von der Existenz eines metastabilen Zweigs der Freien Energie ausgehen, um das Vorgehen zu „begründen“. Beachten Sie jedoch, dass diese Annahme für Nahbereichsmodelle einfach falsch ist (es kann beispielsweise rigoros bewiesen werden, dass es im Ising-Modell in jeder Dimension eine wesentliche Singularität gibt, die eine analytische Fortsetzung der freien Energie über den Übergangspunkt hinaus verhindert ).

Benutzer21090

Ich habe kein Problem mit der Kontinuität der freien Energie. Was mich verwirrt, ist die Erweiterung selbst. Obwohl die freie Energie kontinuierlich ist, ist der "kleine Parameter", den man verwendet, nicht klein.

Antworten (1)

Warum versagt die Landau-Theorie nicht, wenn es um einen Phasenübergang erster Ordnung geht?

Der Sprung, den Sie beobachten, kann durch Hinzufügen eines kubischen Terms (unter anderem) zum Landau-Ausdruck für freie Energie abgeleitet werden. Die Stetigkeitsbedingung ergibt sich aus dem Zwingen des Landau-Ausdrucks, eine gerade Funktion zu bleiben. Ich hatte gehofft, dies als Kommentar hinzuzufügen, aber es sieht so aus, als bräuchte ich dafür eine gefälschte Währung.
Ja, grundsätzlich muss man von der Existenz eines metastabilen Zweigs der Freien Energie ausgehen, um das Vorgehen zu „begründen“. Beachten Sie jedoch, dass diese Annahme für Nahbereichsmodelle einfach falsch ist (es kann beispielsweise rigoros bewiesen werden, dass es im Ising-Modell in jeder Dimension eine wesentliche Singularität gibt, die eine analytische Fortsetzung der freien Energie über den Übergangspunkt hinaus verhindert ).
Ich habe kein Problem mit der Kontinuität der freien Energie. Was mich verwirrt, ist die Erweiterung selbst. Obwohl die freie Energie kontinuierlich ist, ist der "kleine Parameter", den man verwendet, nicht klein.

Ruben Verresen · Answer 1

Der Schlüssel ist: Die Landau-Theorie geht nicht davon aus, dass der Ordnungsparameter klein ist. Alles, was davon ausgeht, ist, dass die freie Energie im Ordnungsparameter analytisch ist. Man dehnt diese freie Energie dann normalerweise bis zu einer gewissen Ordnung aus (was möglicherweise per Definition von „analytisch“ ist). Es ist wichtig zu erkennen, dass das Erweitern einer Funktion in einer Variablen auf eine bestimmte Ordnung nicht bedeutet, dass diese Variable klein sein muss ! Es bedeutet nur, dass Begriffe, die wir wegwerfen, klein sein müssen, was eine andere Sache ist.

Nehmen wir ein Beispiel. Angenommen, wir haben diese etwas ungewöhnlich aussehende freie Energie, die tatsächlich analytisch ist:

F (ϕ, T) = ϕ^{2} - 2 + e^{- \frac{ϕ^{4}}{T}} + cosch (ϕ^{3})

$\boxed{F(\phi,T) = \phi^2 - 2 + e^{-\frac{\phi^4}{T}} + \cosh(\phi^3)}$ Für hohe Temperaturen wählt man das Minimum der freien Energie

ϕ = 0

$\phi = 0$ . Um

T \approx .3

$T \approx .3$ , gibt es einen Übergang erster Ordnung zu

ϕ \neq 0

$\phi \neq 0$ . Die folgenden zwei Graphen geben das intuitive Bild (die x-Achse ist der Ordnungsparameter, die y-Achse die freie Energie):

In der Landau-Theorie dehnt man diese freien Energien normalerweise aus. Wenn wir es zum Beispiel auf die 8. Ordnung erweitern, erhalten wir

F (ϕ, T) = ϕ^{2} - \frac{ϕ^{4}}{T} + \frac{ϕ^{6}}{2} + \frac{ϕ^{8}}{2 T^{2}}

$F(\phi,T) = \phi^2 - \frac{\phi^4}{T} + \frac{\phi^6}{2} + \frac{\phi^8}{2T^2}$ In dieser Reihenfolge ist der Graph für

T = .25

$T = .25$ sieht wie folgt aus:

Wir sehen also, dass dies bereits eine gute Darstellung unserer kostenlosen Energie in der Region darstellt $-1 \leq \phi \leq 1$ . Dies liegt daran, trotz $\phi$ nicht klein, die Begriffe, die wir weggeworfen haben, sind es.

Beachten Sie, dass, wenn Sie nicht an quantitativen Details interessiert sind, sondern nur das intuitive Bild haben möchten, dies vermerkt werden kann $F(\phi,T) = \phi^2 - \frac{\phi^4}{T} + \frac{\phi^6}{2}$ zeigt bereits das gleiche qualitative Verhalten. Außerdem ist diese Reihenfolge leicht zu lösen und genau zu bekommen $T_c = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx .7$ was keine große quantitative Übereinstimmung mit der genaueren ist $T_c = .3$ , aber die gleiche Physik ist im Spiel.

Wie soll ich feststellen können, dass der in dieser Antwort dargestellte Übergang ein Phasenübergang erster Ordnung ist?
@jgerber Der Wert des Ordnungsparameters als Funktion der Temperatur, $\phi(T)$ , wird durch seine Minimierung bestimmt $F(\cdot,T)$ . Wenn Sie sich die Grafiken ansehen, können Sie dies also deutlich sehen $\phi(T) = 0$ zum $T > T_c$ , springt er beim Überqueren diskontinuierlich auf einen endlichen Wert $T_c$ .
@jgerber Hinweis, mein vorheriger Kommentar war eine Antwort auf Ihre Frage, ob Sie die Definition verwenden, dass ein Übergang erster Ordnung einen Sprung im Bestellparameter hat. Wenn Sie stattdessen fragen, wie Sie sehen können, dass die freie Energie beim Überqueren einen Knick hat $T_c$ , beachten Sie, dass unterhalb der Übergangstemperatur der Wert von $F(T) = F(phi(T),T)$ wird durch die lokalen Minima von bestimmt $F(\cdot,T)$ (der vom Ursprung entfernte). Insbesondere ist die Änderungsrate des Werts dieses Minimums beim Einstellen von T endlich $T=T_c$ . Andererseits natürlich $dF(T)/dT = 0$ zum $T>T_c$ (wie früher $F(T) = 0$ ).
Vielleicht übersehe ich etwas Dummes. Aber warum sagst du "trotzdem $\phi$ nicht klein, die Begriffe, die wir weggeworfen haben, sind". Es scheint wichtig, dass Sie sich für die interessieren $\phi <1$ Region. Bei Interesse an einem großen $\phi$ Region eindeutig würde Ihre Annäherung alle Informationen wegwerfen. In Ihrem Beispiel gibt es überhaupt keine interessante Struktur $\phi$ aber ich denke, es könnte sein, wenn wir einen passend gewählten Term abziehen (vielleicht so etwas wie $\cosh(\phi^n)$ für einige $n$ zwei wachsende Exponentiale konkurrieren zu lassen.

Warum versagt die Landau-Theorie nicht, wenn es um einen Phasenübergang erster Ordnung geht?

Benutzer21090

kb56

Jan Velenik

Benutzer21090

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Ruben Verresen

Jägerber48

Ruben Verresen

Ruben Verresen

Kvothe

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