Beweis der Periodizität der Funktion von Floquet Green

Ich gehe davon aus, dass der Leser mit der (konturgeordneten) Definition der Green-Funktion vertraut ist:

$$\begin{align} iG(t_1,t_2) &\equiv \langle T_c \psi_H(x_1,t_1) \psi^\dagger_H(x_2,t_2) \rangle \\ &\equiv \mathop{Tr}\left[\rho(H) T_c \psi_H(x_1,t_1) \psi^\dagger_H(x_2,t_2) \right] / \mathop{Tr}\left[\rho(H) \right] \end{align}$$

Wo$\psi_H$ist der Vernichtungsoperator im Heisenberg-Bild, dessen Entwicklung durch den Zeitentwicklungsoperator bestimmt wird$U$, ab einiger Zeit$t_0$, wo die Bilder von Heisenberg und Schrödinger zusammenfallen.

$$\psi_H(x,t) = U^\dagger(t,t_0) \psi(x) U(t,t_0)$$

Hier nun der Beweis:

$$\begin{align} \frac{d}{dt}U_{H}\left(t,t_{0}\right)&=-iH\left(t\right)U_{H}\left(t,t_{0}\right)\\ S\left(t\right)&\equiv U_{H}\left(t+T,t_{0}\right)U_{H}^{\dagger}\left(T,t_{0}\right)\quad\text{define helper quantity}\\ \frac{d}{dt}S\left(t\right)&=\frac{d}{dt}U_{H}\left(t+T,t_{0}\right)U_{H}^{\dagger}\left(T,t_{0}\right)\\&=-iH\left(t+T\right)U_{H}\left(t+T,t_{0}\right)U_{H}^{\dagger}\left(T,t_{0}\right)\\&=-iH\left(t\right)S\left(t\right)\quad\text{using periodicity of }H\\ \Rightarrow S\left(t\right)&=U_{H}\left(t,t_{0}\right)U_{H}^{\dagger}\left(0,t_{0}\right)\quad\text{because }S\left(0\right)=1\\\Rightarrow U_{H}\left(t+T,t_{0}\right)&=U_{H}\left(t,t_{0}\right)U_{H}^{\dagger}\left(0,t_{0}\right)U_{H}\left(T,t_{0}\right)\\&=U_{H}\left(t,t_{0}\right)X\\\text{where }X&\equiv U_{H}^{\dagger}\left(0,t_{0}\right)U_{H}\left(T,t_{0}\right)\\ \text{now } \psi_{H}\left(x,t+T\right)&=U_{H}^{\dagger}\left(t+T,t_{0}\right)\psi\left(x,t_{0}\right)U_{H}\left(t+T,t_{0}\right)\\ &=X^{\dagger}U_{H}^{\dagger}\left(t,t_{0}\right)\psi\left(x,t_{0}\right)U_{H}\left(t,t_{0}\right)X\\ &=X^{\dagger}\psi_{H}\left(x,t\right)X\\ iG\left(t_{1}+T,t_{2}+T\right)&=\left\langle T_{c}\psi_{H}\left(x_{1},t_{1}+T\right)\psi_{H}^{\dagger}\left(x_{2},t_{2}+T\right)\right\rangle \\&=\left\langle T_{c}X^{\dagger}\psi_{H}\left(x_{1},t_{1}\right)XX^{\dagger}\psi_{H}^{\dagger}\left(x_{2},t_{2}\right)X\right\rangle \\&=\left\langle T_{c}X^{\dagger}\psi_{H}\left(x_{1},t_{1}\right)\psi_{H}^{\dagger}\left(x_{2},t_{2}\right)X\right\rangle \\&=\left\langle T_{c}\psi_{H}\left(x_{1},t_{1}\right)\psi_{H}^{\dagger}\left(x_{2},t_{2}\right)XX^{\dagger}\right\rangle \quad\text{using cyclic property of trace}\\&=\left\langle T_{c}\psi_{H}\left(x_{1},t_{1}\right)\psi_{H}^{\dagger}\left(x_{2},t_{2}\right)\right\rangle \\&=iG\left(t_{1},t_{2}\right) \end{align}$$

qed