Beziehung zwischen der Funktion des kleineren Grüns und der Funktion des größeren Grüns im Keldysh-Formalismus

TL;DR Im Allgemeinen nein.

Es folgt eine längere, aber möglicherweise irrelevante Diskussion. Wenn Sie die klassische Übersicht RevModPhys.58.323 von Rammer und Smith konsultieren, sind die Größen, die Sie berücksichtigen, definiert als (Gl. 2.5):

$$G^{<}(\boldsymbol x_1,t_1,\boldsymbol x_{1'},t_{1'})=\mp i\langle \psi^\dagger_{\mathcal H}(\boldsymbol x_{1'},t_{1'}) \psi_{\mathcal H}(\boldsymbol x_1,t_1)\rangle,$$

$$G^{>}(\boldsymbol x_1,t_1,\boldsymbol x_{1'},t_{1'})=- i\langle \psi_{\mathcal H}(\boldsymbol x_1,t_1) \psi^\dagger_{\mathcal H}(\boldsymbol x_{1'},t_{1'}) \rangle,$$

Wo$\mathcal H$impliziert das Heisenberg-Bild, während$(\boldsymbol x_1,t_1)$Und$(\boldsymbol x_{1'},t_{1'})$sind an dieser Stelle ganz allgemein.

Im thermischen Gleichgewicht hängen diese Funktionen nur von den relativen Variablen ab, d. h.$t_1 - t_{1'}$Und$\boldsymbol x_1 - \boldsymbol x_{1'}$. Eine bekannte Folge davon ist der Zusammenhang bezüglich der Fourier-Transformierten der kleineren und größeren Green-Funktionen, Gl. 2,65,

$$\tilde G^{<}(E) = e^{-\beta E}\tilde G^{>}(E).$$ Diese Beziehung gilt grundsätzlich, da der Hamiltonoperator zu verschiedenen Zeiten mit sich selbst in einen Gleichgewichtszustand pendelt (auch als Kubo-Martin-Schwinger- Randbedingung bekannt).

Wenn jedoch der Hamiltonoperator nicht mit sich selbst kommutiert, was von der Art der betrachteten Störung abhängt, gilt diese Beziehung offensichtlich nicht mehr.

Je nach Störung sollte es möglich sein, ähnliche Beziehungen zu finden (die nun von den Durchschnittsvariablen abhängen sollten$t_1 + t_{1'}$usw.), obwohl ich keine Referenz gefunden habe, um diesen Punkt zu veranschaulichen. In jedem Fall würden solche Beziehungen eine störungsbedingte Expansion beinhalten, und soweit ich weiß, gibt es keine einfache allgemeine Beziehung.

Für die Aufzeichnung gibt es eine "allgemeine Beziehung" zwischen$G^{<}(t,t')|_{t'=t}$Und$G^{>}(t,t')|_{t'=t}$, also wenn sie "gleichzeitig" ausgewertet werden. Es liest

$$G^{R}(t,t) - G^{A}(t,t) = G^{>}(t,t) - G^{<}(t,t) = -i,$$ und ist im Wesentlichen eine Folge der nicht kommutierenden Operatoren, da $G^{>}(t,t) - G^{<}(t,t) = -i\langle a a^{\dagger} - a^{\dagger}a \rangle$. Es ist sehr wichtig, diese Beziehung bei der Ableitung von Bewegungsgleichungen für die Green-Funktionen zu berücksichtigen. Beachten Sie, dass $G^{R}(t,t') - G^{A}(t,t') = G^{>}(t,t') - G^{<}(t,t')$hält immer.