Analytische Fortsetzung der imaginären Zeit Grüne Funktion im Zeitbereich

Betrachten Sie die imaginäre Greens-Zeitfunktion eines Fermionenfeldes Ψ ( X , τ ) bei Nulltemperatur

G τ = − ⟨ θ ( τ ) Ψ ( X , τ ) Ψ † ( 0 , 0 ) − θ ( − τ ) Ψ † ( 0 , 0 ) Ψ ( X , τ ) ⟩

Es ist allgemein bekannt, dass wir die retardierte Greens-Funktion erhalten können, indem wir eine Fourier-Transformation in den Frequenzraum durchführen und die analytische Fortsetzung durchführen ich ω → ω + ich η .

Was ich gerne machen würde, ist die analytische Fortsetzung direkt in der Form durchzuführen ich τ → T , aber ich weiß nicht, wie ich damit umgehen soll θ ( τ ) Bedingungen.

Wie man die analytische Fortsetzung durchführt ich τ → T der Sprungfunktion θ ( τ ) ?

In meinem Fall habe ich es mit einer chiralen Luttinger-Flüssigkeit zu tun, die so etwas wie gibt

G τ ( X , τ ) = − [ θ ( τ ) ich ich λ + ich v τ − X − θ ( − τ ) ich ich λ − ich v τ − X ]

Wo λ ≈ 0 ist eine infinitesimale, aber wichtige Regularisierung. Natürlich wird die analytische Fortsetzung in den Zeitbereich ungefähr so ​​aussehen

1 ich λ + v T − X

aber mich interessiert die genaue Form.

Außerdem interessiere ich mich letztendlich für die Spektralfunktion, daher habe ich nichts dagegen, wenn mir die analytische Fortsetzung noch eine andere Variante einer Greens-Funktion liefert, aber ich möchte sie genau aus der imaginären Zeit Greens-Funktion erhalten, ohne einen mühsamen Weg zu gehen Fourier-Transformation. Zum Beispiel verwendet das Buch „Quantum Theory of the Electron Liquid“ von Giuliani und Vignale die Greens-Funktion G > ( X , T ) mit großer Wirkung (Gleichung (9.133)).

Antworten (1)

Um die analytische Fortsetzung der Treppenfunktion durchzuführen, beginnen Sie mit der zweiten Gleichung, die in der Frage angegeben ist. Da die Ableitung der Stufenfunktion die Dirac-Delta-Funktion ist, ersetzen Sie die Stufenfunktion durch die Integration des Dirac-Deltas. Führen Sie dann die Fourier-Transformation des Integrals durch. Nach Vereinfachung dieser Gleichung ist sie gleich Null. Beseitigen Sie nun dieses Ergebnis, indem Sie es in den Zeitbereich integrieren. Dies führt dazu, dass die erste Gleichung in Ihrer Frage vom dritten Element des ersten Terms und vom zweiten Element des zweiten eliminiert wird. Nachdem dies abgeschlossen ist, können Sie fortfahren, indem Sie die normale analytische Fortsetzung verwenden, wodurch die Domäne gleich wird X ich λ + v T − X

Könnten Sie das näher erläutern? Wenn ich die Fourier-Transformation und die Umkehrung erneut durchführe, erhalte ich die analytische Fortsetzung ich τ → T + ich η gibt θ ( τ ) → ich θ ( T ) e − η T . Ist das korrekt?
@Greg Graviton Das ist richtig, weil es die analytische imaginäre Zeitfortsetzung ist und das Aussehen dieser Funktion in der Quantenfeldtheorie bekannt ist, was auch die Durchführung dieses Verfahrens viel einfacher macht.
@Greg Graviton Das ist richtig, weil es die analytische imaginäre Zeitfortsetzung ist und das Aussehen dieser Funktion in der Quantenfeldtheorie bekannt ist, was auch die Durchführung dieses Verfahrens viel einfacher macht. Die Fourier-Transformation ist ein erforderlicher Schritt, obwohl sie die Berechnungen mühsam macht (die Frage, die nach einer Methode ohne sie gestellt wurde). Außerdem müssen Sie das Ergebnis, das Sie von negativem Pi erhalten haben, in Pi integrieren, um das Ergebnis meiner Antwort zu erhalten, falls Sie dies noch nicht getan haben.
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