Grüne Funktion und Impulserhaltung

Nimmt man die Fourier-Transformation bzgl. Raum der folgenden Green-Funktion

G ( X , T ; X ' , T ' ) = − ich ⟨ T { ψ ( X , T ) ψ † ( X ' , T ' ) } ⟩

man endet mit einem Ausdruck wie

G ( k , T ; k ' , T ' ) = − ich ⟨ T { A k † ( T ) A k ' † ( T ' ) } ⟩

bei dem die A Operatoren erzeugen/zerstören ein Teilchen in den jeweiligen Impulszuständen.

Meine Fragen sind die folgenden: Ich weiß, dass im homogenen Raum der Impuls erhalten bleibt und es sein sollte k = k ' im obigen Ausdruck.

Gibt es ein rigoroses Argument, um dies zu sehen, mit dem man die Einstellung vermeiden kann k = k ' von Hand?

Was passiert für Green-Funktionen, wenn der Raum nicht mehr homogen ist (z. B. in Anwesenheit von Verunreinigungen oder in einem Kristall)? Ist die FT der GFs noch ein "gutes" Objekt?

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Die Impulserhaltung ist eine Folge der Verschiebungsinvarianz. (Dank des Satzes von Noether wissen wir, dass kontinuierliche Symmetrien mit Erhaltungsgrößen zusammenhängen.) Verschiebungsinvarianz bedeutet, dass die Green-Funktion nur von der relativen Verschiebung abhängen kann. Mit anderen Worten (Ignorieren T ) Wir würden haben

G ( X , X ' ) = G ( X − X ' ) .
In diesem Sinne G ( X ) ist die Autokorrelationsfunktion des Feldes. Nun gibt es noch einen weiteren Satz, den Wiener-Khinchin- Satz, der besagt, dass die Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion die spektrale Leistungsdichte ist
F { G ( X ) } = S ( k ) .
Die spektrale Leistungsdichte ist das Quadrat des Moduls des Feldspektrums
S ( k ) = | F { ψ ( X ) } | 2 .
Wir sehen also, dass es nur eine enthält k , was das in der Tat impliziert k = k ' .

Was ist nun mit der T die wir ignoriert haben? Die Natur ist auch zeitlich verschiebungsinvariant, was zur Energieeinsparung führt. Daher kann eine ähnliche Analyse für die zeitlichen Freiheitsgrade verfolgt werden.

Wenn der Raum nicht homogen ist, so dass die Verschiebungsinvarianz verloren geht, dann würde auch die Impulserhaltung verloren gehen. Dann könnte man diese Größen nicht gleichsetzen.

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