Translationsinvarianz impliziert diagonale Darstellung im Impulsraum

Dies ist nur eine Eigenschaft von Fourier-Transformationen. Wenn die Korrelationsfunktion translationsinvariant ist, dann per Definition die Positionsraumdarstellung$D(x,y)$verwandelt sich als$D(x+a,y+a) = D(x,y)$für jede Konstante$a$. Daher$D(x,y) = D(x-y,0)$und so hängt der Korrelator nur von der Differenz ab$x-y$. Der Einfachheit halber definieren wir$D(x-y) = D(x-y,0)$. Fourier-Transformation über beide$x$Und$y$und Sie finden es diagonal im Impulsraum. In einer Dimension z.

$$\begin{eqnarray} \tilde{D}(p,q) &\sim& \int dx dy e^{ipx + iqy} D(x-y)\\ &=& \int du dy e^{ipu} e^{i(p+q)y} D(u) \\ &\sim& \tilde{D}(p) \delta(p+q) \end{eqnarray}$$

wo ich vernachlässige, die Konstanten im Auge zu behalten. Das Ergebnis ist aufgrund der Delta-Funktion diagonal im Impulsraum, erzwingend$q=-p$.

Die Tatsache, dass das System translationsinvariant ist, impliziert, dass der Translationsoperator mit dem Hamiltonoperator pendelt. Dies impliziert, dass sie eine Basis gegenseitiger Eigenzustände haben. Da der Impulsoperator die Translationen erzeugt, d.h

$$T =e^{-\imath x p}$$ ein Zustand ist genau dann ein Eigenzustand des Translationsoperators, wenn er ein Eigenzustand des Impulsoperators ist.

Ich denke, was hier zu beachten ist, ist die Tatsache, dass die Korrelationsfunktion (Operator) seither mit dem Impulsoperator pendelt

$$[D,\text e^{ixp}] = 0 \implies [D,p] = 0$$

Wenn dies der Fall ist, kann man sich daran erinnern, dass jeder Operator, der in seinem eigenen Eigenraum dargestellt wird, diagonal ist, sollte Ihre Frage beantworten.

PS: Ich bin mir bei der Frage (Antwort) nicht ganz sicher, also ist dies nur meine Perspektive

Um die Antwort von @By Symmetry zu erweitern, lassen Sie die Zweipunktfunktion als definieren

$$f(x_1,x_2)=\langle\Omega|\, \phi(x_1)\phi(x_2)\,|\Omega\rangle.$$ Damit das Obige translationsinvariant ist, muss man das fordern $$\langle\Omega|\,\left[P, \phi(x_1)\phi(x_2)\right]\,|\Omega\rangle = 0$$ Wo $P$ist der Generator der Übersetzungen, wie sie als Einheitsgruppe mit einem Parameter definiert sind. Dies erfordert im Allgemeinen nicht, dass der Kommutator immer Null ist (es erfordert nur, dass er dies im Vakuumzustand ist); jedoch, wenn Sie möchten, dass diese Beziehung für jeden Zustand gilt $|\psi\rangle$dann bedeutet das, dass der Kommutator immer Null ist $P$Und $\phi(x_1)\phi(x_2)$haben einen Satz gemeinsamer Eigenzustände, in denen sie gleichzeitig diagonalisiert werden könnten.