Quantenfeldtheorie der Erhaltungsgrößen

Lassen Sie mich einige Anmerkungen zu diesem Thema machen, da dies ein wichtiger Punkt ist, der in den meisten Standardbehandlungen von QFT oft bis spät beschönigt wird. Es gibt ein paar wichtige Stellen, an denen Symmetrien ins Spiel kommen, und ich werde versuchen, sie hier zu beschreiben.

Erinnern wir uns zunächst daran, dass der Satz von Noether in einer klassischen Theorie zwei wichtige Implikationen hat. Die erste ist die Existenz von Erhaltungsladungen, die bei der Lösung von Bewegungsgleichungen usw. nützlich sein können. Aber ihr Theorem sagt uns auch, dass diese Ladungen die Transformation erzeugen, mit der sie über die Poisson-Klammer verbunden sind . Angenommen, wir haben eine kontinuierliche Transformation$T_\alpha$parametrisiert durch$\alpha$die auf unseren Feldern wirkt$\phi$von

$$\phi^\prime = T_\alpha[\phi].$$ Wenn diese Transformation eine Symmetrie ist, sagt uns der Satz von Noether, dass es eine zugehörige Ladung geben wird$Q$was konserviert ist: $$\frac{d Q}{d t}=\{Q,H\}=0$$ und die die Symmetrie erzeugt. Das heißt, für jede Funktion$F$im Phasenraum, $$\frac{d F(T_\alpha[\phi])}{d\alpha}\biggr|_{\alpha=0}=\{F,Q\}.$$ Bedeutung, wenn wir die Ableitung von nehmen$F$entlang des durch die Transformation erzeugten Flusses$T$, dies entspricht der Berechnung der Poisson-Klammer von$F$Und$Q$.

Der Grund, warum ich diesen Punkt bearbeite, ist, dass er sich auf die quantisierte Version der Theorie überträgt: die Ladungen$Q$die konserviert sind$[H,Q]=0$und einer Symmetrie zugeordnet sind, erzeugen diese Symmetrie über den Kommutator bis zu Faktoren von$i$Und$\hbar$.

Wir wissen zum Beispiel, dass der Drehimpulsoperator der Generator von Rotationen ist. Der lineare Impulsoperator des Translationsgenerators und so weiter.

Der Satz von Noether stellt also eine Verbindung zwischen Transformationen auf unserem Hilbert-Raum und Symmetrien her.

Als nächstes wissen wir, dass wir für jede Sammlung paarweise kommutierender Operatoren sie alle gleichzeitig diagonalisieren können. Dies ist sehr nützlich für die Organisation unseres Hilbert-Raums. Wenn wir zum Beispiel das Wasserstoffatom betrachten, verwenden wir die Tatsache, dass der Hamiltonoperator mit pendelt$L_z$Und$L^2$eine Basis von Zuständen in die Form zu schreiben$|E_n,\ell,m\rangle$. Wenn Sie bisher nur Griffiths Darstellung des Wasserstoffatomproblems gesehen haben, empfehle ich dringend, in Sakurais Buch nachzuschlagen. Dort werden Operatoralgebren (die der klare Weg sind, die Rolle der Symmetrie zu verstehen) im Gegensatz zu langweiligen PDE-Problemen betont.

Schließlich gibt es Stationsidentitäten, die leider typischerweise erst spät in einer Standardbehandlung von QFT diskutiert werden. Im Wesentlichen sind dies Beziehungen zwischen inneren Produkten, die durch Symmetrie gesteuert werden. Angenommen, wir haben eine Sammlung von Operatoren$\mathcal{O}_1,\ldots,\mathcal{O}_n$und berechnen möchte

$$\langle 0|\mathcal{O}_1\ldots\mathcal{O}_n|0\rangle.$$ Symmetrien verraten uns etwas darüber, in welchem ​​Verhältnis dieser Erwartungswert zu anderen Erwartungen steht. Der einfachste Weg, die Identitäten abzuleiten, ergibt sich aus einer sogenannten Feld-Redefinition in einem Pfad-Integral-Ansatz, aber diese können auch aus Operator-Sicht erhalten werden.

Schematisch besagen diese Identitäten, dass wenn$\frac{d}{d\alpha}$die Ableitung bezüglich einer kontinuierlichen Symmetrie ist (im gleichen Sinne wie im obigen klassischen Fall), dann müssen wir die Identität haben

$$\frac{d}{d\alpha}\langle 0|\mathcal{O}_1\ldots\mathcal{O}_n|0\rangle=-i\sum_{k=1}^n\langle0|\mathcal{O}_1\ldots T[\mathcal{O}_k]\ldots\mathcal{O}_n|0\rangle.$$ Auch dies ist nur schematisch, um eine Vorstellung davon zu geben, wie es geht.

Die Macht der Ward-Identitäten besteht darin, dass sie nicht störend und als Ergebnis halten eine der wenigen Aussagen sind, die wir wirklich sicher über eine Theorie machen können, ohne uns auf eine störende Erweiterung zu verlassen. Ob klassisch oder quantenmechanisch, das ist immer die Stärke von Noethers Theorem: Es sagt uns Dinge, die wir sonst niemals berechnen könnten.

Auf jeden Fall gibt es einige sehr schöne Informationen über diese Dinge da draußen, leider habe ich sie eher verstreut gefunden.

Die einfachste mögliche Lorentz-invariante Bewegungsgleichung für ein Feld ist$\Box \phi = 0$. Die klassischen Lösungen sind ebene Wellen. Zum Beispiel ist eine Lösung$\phi(x) = a_p(t) e^{i \vec p \cdot \vec x}$, die die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators ist.

Eine allgemeine Lösung ist
$\phi(x, t) = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} (a_p e^{-i p x} + a_p^\dagger e^{i p x})$
Wo$a_p$Und$a_p^\dagger$sind jeweils die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren und$[a_k, a_p^\dagger] = (2 \pi)^3 \delta^3 (\vec p - \vec k)$sind die zeitgleichen Kommutierungsbeziehungen.

Der Operator konjugiert kanonisch zu$\phi(x)$bei$t = 0$Ist$\pi(\vec x) = \partial_t \phi(x) |_{t = 0}$. Wenn Sie den Kommutator berechnen, erhalten Sie
$[\phi(\vec x), \pi(\vec y)] = i \delta^3 (\vec x - \vec y)$

Alles Obige stimmt mit den Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen überein, daher gilt das Noether-Theorem auch für die quantisierten Felder.