Erhaltung des Kristallimpulses

Es besteht keine Notwendigkeit, die Exponentialfunktion zu erweitern. Lassen Sie das Gitter eine Basis haben$\mathbf{a}_i$. Die Tatsache, dass

$$[e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}, H] = 0, \quad [e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}, e^{i \mathbf{a}_j \cdot \mathbf{P}}] = 0$$ zeigt an, dass wir simultan diagonalisieren können$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}$Und$H$. Seit$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}$unitär ist, sind seine Eigenwerte reine Phasen, also können wir definieren $$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}} |\psi \rangle = e^{i \phi_i} |\psi \rangle.$$ Nun, weil die$\mathbf{a}_i$Grundlage bilden$\mathbb{R}^3$, gibt es Vektoren$\mathbf{k}$so dass $$e^{i \phi_i} = e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{k}}.$$ Wir können dann anrufen$\mathbf{k}$der "Kristallimpuls". Der Grund dass$\mathbf{k}$nur bis auf Vielfache von reziproken Gittervektoren definiert ist, weil wir nicht angegeben haben$\mathbf{k}$irgendwo in diesem Argument, nur seine Exponentialfunktion. In der Tat, wenn wir einen reziproken Gittervektor hinzufügen$\mathbf{b}_j$, dann ändern sich die Phasen um$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j} = e^{2 \pi i \delta_{ij}} = 1$durch die Definition des reziproken Gitters.

Für eine vollständige Translationssymmetrie können Sie nehmen$\mathbf{a}$infinitesimal und Taylor erweitern das Exponential, Geben$[\mathbf{a} \cdot \mathbf{P}, H] = 0$, und dann seitdem$\mathbf{a}$willkürlich haben wir$[\mathbf{P}, H] = 0$. Aber für die Gitterübersetzungen ist das Erweitern des Exponentials nicht wirklich sauber und auch nicht notwendig.

Ich denke, die Antwort auf Ihre Frage ist, dass es angemessener ist zu sagen, dass Crystal Momentum modulo reziproke Gitterübersetzungen definiert .

Nehmen wir an, dass der Kristall Bravais-Gittervektoren hat$\{ e_i \}$,$i=1,...,d$. Wir können die reziproken Gittervektoren konstruieren$\{f_j\}$befriedigend$e_i . f_j = 2 \pi\delta_{ij}$. Eine allgemeine Gitterübersetzung ist gegeben durch$a = \Sigma n_i$ $e_i$,$n_i$ $\epsilon$ $\mathbb{Z}$.

Diese Übersetzungen werden durch den "Kristallimpuls" erzeugt,$P = \Sigma P_j \hat{f_j}$.
Hier$P_j$ist die Komponente des Kristallimpulses entlang der$j$te Richtung auf dem reziproken Gitter. Der Übersetzungsoperator ist$T(a)$=$T(\{n_i\})$=$e^{iP.a}$=$exp ( 2 \pi i\Sigma \frac{n_i P_i}{|f_i|})$=$exp ( 2 \pi i\Sigma \frac{n_i (P_i + m_i |f_i|) }{|f_i|})$, für alle$m_i$ $\epsilon$ $\mathbb{Z}$.

Die letzte Gleichheit zeigt, dass dieselbe Gitterübersetzung erzeugt wird, wenn wir ersetzen$\{ P_i \}$, die Komponenten des Kristallimpulses im reziproken Raum, um$\{ P_i + m_i |f_i| \}$(Oder,$P$wird ersetzt durch$P$ $+$ $\Sigma$ $m_i f_i$).

Dies bedeutet, dass "Kristallimpuls" (dh der Generator von Gittertranslationen) nur ein modulo reziproker Gittervektor ist. Anders ausgedrückt, die einzigen Eigenwerte des Kristallimpulses, die berücksichtigt werden müssen, sind diejenigen, die zur ersten Brillouin-Zone gehören.

Der Rest deiner Aussage ist richtig. Aus der Tatsache, dass$[T(\{ n_i \}), H]$=$0$ $\forall$mögliche Gitterübersetzungen$\{ n_i \}$, erhalten wir, dass der Kristallimpuls erhalten bleibt.

Siehe auch : Ungerechtfertigte Behauptung in Kittel über Bloch-Funktionen (gegen Ende) für eine 1-d-Version des oben präsentierten Arguments und eine Ableitung des Bloch-Theorems.