Herkömmliche Elementarzellen- und Punktgruppensymmetrien?

Eine Definition einer herkömmlichen Einheitszelle eines Gitters ist eine, die dieselben Punktgruppensymmetrien wie das Gesamtgitter enthält und die kleinste derartige Zelle ist.

Ich kann verstehen, wie ein (unendliches) Gitter eine Punktgruppensymmetrie um jeden Gitterpunkt haben kann, z. B. Rotationssymmetrie, Spiegelsymmetrie usw.

Aber ich kann das nicht für eine Einheitszelle sehen. Kann bitte jemand erklären, wie wir die Punktgruppensymmetrien einer Einheitszelle mit der eines Gesamtgitters vergleichen? (z. B. welche Punkte verwenden wir, für eine Zelle, was genau ist mit einer Symmetrie gemeint, wenn die meisten Transformationen sie von ihrer ursprünglichen Position verschieben usw.)

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Betrachten Sie das folgende Diagramm eines einfachen kubischen 2d-Gitters:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

In diesem Diagramm ist es eine Einheitszelle in Grün. Diese Zelle teilt eindeutig die Symmetrie der Reflexion durch die Linie A mit dem Gitter. Das Gitter ist jedoch auch symmetrisch durch Reflexion durch die Linie B, aber die Einheitszelle ist nicht gerade, obwohl es für das Gitter eine Punktgruppensymmetrie eines der Gitterpunkte innerhalb der Einheitszelle ist. Ich würde daher sagen, dass diese Einheitszelle und das Gitter nicht dieselbe Symmetrie haben und diese Einheitszelle daher keine herkömmliche Einheitszelle ist. Ich weiß jedoch (/ bin ziemlich zuversichtlich), dass dies tatsächlich eine herkömmliche Einheitszelle ist, angesichts der obigen Definition kann ich jedoch nicht zellen, wie dies gilt und wo meine Argumentation falsch ist.

„Herkömmliche Einheitszelle“ ist keine genaue Sache, da es viele „herkömmliche“ Einheitszellen gibt, die von verschiedenen Autoren so benannt wurden. Nun, eine Wigner-Seitz-Einheitszelle, die Sie vielleicht verstehen können, wenn man Wigners breiten Gebrauch der Gruppentheorie betrachtet.
@JonCuster Obwohl der Begriff "konventionelle Einheitszelle" möglicherweise nicht präzise ist, denke ich, dass meine oben angegebene Definition eine eindeutige Zelle für ein bestimmtes Gitter angibt (ich habe sie geringfügig geändert, seit Sie Ihren Kommentar gepostet haben).
Denken Sie in Bezug auf Ihren letzten Satz daran, dass Punktgruppenoperationen das Objekt nicht übersetzen. Die Transformationen verschieben die Zelle nicht.
@garyp Betrachten Sie einen Würfel, es sei denn, Sie drehen ihn um seinen Mittelpunkt und um ganz bestimmte Beträge, nimmt der Würfel einen anderen Platz ein (dh seine Ecken vor und nach der Drehung richten sich nicht aus).
Ok, aber das ist keine Gruppenoperation. Ich verstehe also nicht, warum Sie diese Möglichkeit ansprechen. Ich fürchte, ich verstehe Ihre Frage nicht.
@garyp Ich denke, was mich verwirrt, ist, wie wir die Einheitszelle mit der gleichen Symmetrie wie der Kristall identifizieren und was es genau bedeutet, dass eine Einheitszelle die gleiche Symmetrie wie der Kristall hat.
Sagen wir zum Beispiel ... "Die Punktgruppensymmetrien der Einheitszelle um ihren Mittelpunkt müssen die gleichen sein wie die Punktgruppensymmetrien des Kristalls um jeden Gitterpunkt."?
Wenn wir eine 3D-Version Ihrer Frage nehmen, verschwindet das Problem, wenn wir eine kubische Einheitszelle nehmen?

Antworten (3)

Eine Definition einer herkömmlichen Einheitszelle eines Gitters ist eine, die dieselben Punktgruppensymmetrien wie das Gesamtgitter enthält und die kleinste derartige Zelle ist.

Ich glaube nicht, dass dies die Definition einer "konventionellen Einheitszelle" ist.

Die "kleinste Zelle", die jede Struktur vollständig beschreibt, ist die primitive Zelle, die die kleinste Zelle ist, die nur einen Gitterpunkt enthält.

https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_cell

Die wichtigen Symmetrien für die primitive Zelle sind die Translationssymmetrien, die Teil der Raumgruppensymmetrie des Gitters sind, nicht die Punktgruppensymmetrie. Da die Definition der primitiven Zelle die Position des Zellenursprungs in Bezug auf den enthaltenen Gitterpunkt nicht spezifiziert, ist die Punktgruppensymmetrie einer primitiven Zelle nicht eindeutig definiert und hängt von der Wahl des Zellenursprungs ab. Möglicherweise finden Sie innerhalb einer bestimmten Zelle Punktgruppensymmetrieoperationen, die Sie bei Betrachtung des gesamten Kristalls erwarten würden, oder auch nicht.

Ich möchte hinzufügen, dass es eine Prozedur gibt, um die primitive Zelle zu finden, die als Wigner-Seitz-Prozedur bezeichnet wird. Siehe zum Beispiel diese Webseite .

Die Einheitszelle ist eine 3D-Figur, die eine bestimmte Symmetrie besitzt (zB Würfel, Viereck etc.). Die Einheitszelle wird ausgewählt, nachdem Sie die Symmetrie des Kristalls herausgefunden haben, und sie wird so ausgewählt, dass sie die Symmetrie des Kristalls hat (kann ziemlich kompliziert sein, wie hier ) . Sie können keine Einheitszelle bauen, wenn Sie nicht wissen, wie Ihr Kristall aussieht (nur anhand der Anzahl der Atome usw.). Mit einer gegebenen Einheitszelle können Sie Ihren Kristall reproduzieren.

Hallo, danke für deine Antwort. Sie sagten, "es ist so ausgewählt, dass es die Symmetrie des Kristalls hat", das ist der Kern meiner Frage. Ich kann nicht sehen, wie wir die Symmetrie der Einheitszelle mit dem unendlichen Kristall vergleichen können. Ich würde es begrüßen, wenn Sie bitte näher auf diese Aussage eingehen könnten. Siehe auch die Änderungen an der obigen Frage (ich habe versucht, meine Probleme näher zu erläutern).
Nachdem ich Ihre Bearbeitung gelesen habe, kann ich sehen, was fehlt. Das Wichtigste ist, dass wir PUNKT-Gruppen betrachten, dh Sie sollten darauf achten, dass alle Elemente der Gruppe auf denselben Punkt bezogen sind. Für die Einheitszelle ist dies typischerweise ein "Zentrum" der Einheitszelle, dh ihr symmetrischster Punkt (in Ihrem Fall die Mitte des Quadrats). Wenn Sie nun die horizontale Linie durch die Mitte der Zelle ziehen, sind sowohl die Zelle als auch das Gitter symmetrisch in Bezug auf die Reflexion.
Mit anderen Worten, wenn Sie nach einem Symmetrieelement in Ihrem Gitter oder Ihrer Elementarzelle suchen, sollten Sie die Frage stellen: „Kann ich einen Punkt/eine Linie finden, in Bezug auf die meine Elementarzelle/Gitter diese Symmetrie besitzen wird?“. Grobes Beispiel dafür, wie Ihre bisherige Denkweise beim Gitter nicht funktioniert: In Ihrer Zeichnung ist ein weiteres Symmetrieelement die Drehung um Pi / 4. Wenn ich zufällig einen beliebigen Punkt auswähle (sagen wir 1/5 der Gitterkonstante von Punkt A entfernt), ist mein Gitter nicht symmetrisch zur Drehung um Pi/4. Aber wenn ich nach einem Punkt suche, für den dies der Fall ist, werde ich einige finden.
Schließlich kann es im allgemeinen Fall nicht offensichtlich sein, eine Einheitszelle zu zeichnen oder einen Punkt im Gitter zu finden, für den alle Symmetrien respektiert werden. Ich bin beim ersten Versuch der Gruppentheorieprüfung durchgefallen, weil ich keine finden konnte :)
Eine zusätzliche Anmerkung: Wie Sie vielleicht wissen, gibt es eine gewisse Wahlfreiheit der Einheitszelle, die die Allgemeinheit nicht einschränkt. Zum Beispiel können Sie die Mitte des Quadrats in den B-Punkt legen. In diesem Fall haben Sie immer noch horizontale und diagonale Reflexionsebenen, obwohl die Diagonale jetzt durch B gehen muss.
Wollen wir sagen, dass wir die Punktgruppensymmetrie der Einheitszelle an einem Punkt P finden (was wahrscheinlich das Zentrum ist), und wenn das Gitter dieselbe Punktgruppensymmetrie um P hat, dann wird diese Einheitszelle konventionell genannt?
Ich denke, es gibt einen gewissen Unterschied in der Terminologie zwischen den Leuten (vielleicht bin ich mir nur nicht der richtigen bewusst). Zum Beispiel wurde mir beigebracht, dass primitive Zellen nicht unbedingt Gittersymmetrie besitzen, sondern das kleinstmögliche Volumen haben, während Elementarzellen dies tun (wie Wigner-Seitz). Nun ist die herkömmliche Einheitszelle diejenige, die auf den Bravais-Vektoren aufgebaut ist und eine vollständige Symmetrie des Gitters aufweist. Ich sage normalerweise nicht primitive Einheitszelle (es sei denn, es ist Wigner-Seitz), obwohl ich weiß, dass dies die Leute tun (möglicherweise, weil ich eine russische Ausbildung habe).
Also wieder in der Terminologie, an die ich gewöhnt bin, dass jede Elementarzelle die Symmetrie des Gitters haben sollte, aber konventionell auf den Bravais-Vektoren aufgebaut ist.
Ich denke, das hat sozusagen den Karren vor dem Pferd. Wir definieren eine Elementarzelle danach, wie wir mit dem Gitter arbeiten wollen. Wir können einen bestimmten Satz von Symmetrieregeln wünschen oder wir können eine bestimmte Betriebskonvention wünschen. Besser gesagt, die Einheitszelle wird nicht durch die Symmetrie des Gitters offenbart, die Einheitszelle kann so gewählt werden, dass sie einen bestimmten Satz von Symmetrien im Gesamtgitter offenbart. Als Beispiele kommen die Konventionen der primitiven Einheitszelle und der kubischen Einheitszelle der BCC- oder FCC-Gitter in den Sinn.

Ein Teil Ihrer Schwierigkeit besteht darin, dass Sie keinen Punkt auswählen, um den Sie Ihre Symmetrieoperationen definieren (schließlich werden sie Punktsymmetrien genannt ) . Im Fall Ihres spezifischen Quadrats werden die Symmetrieoperationen w / r zum Mittelpunkt des Quadrats definiert.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Dies macht deutlich, dass es sich bei den Reflexionen - blau oder rot dargestellt - um Ebenen handelt, die durch den Symmetriepunkt gehen. Insbesondere eine Spiegelung um die horizontale Austauschachse ( 12 ) ↔ ( 43 ) .

Wenn Sie ein Atom im Quadrat als Symmetriepunkt wählen, müssen Sie (diskrete) Translationen verwenden, um das transformierte Quadrat wieder in seine ursprüngliche Position zu bringen. Diese Übersetzungen sind auch in der Symmetriegruppe des Gitters enthalten , sodass kein wirklicher Schaden entsteht, da zwei beliebige Zellen äquivalent sind.

Es gibt mehrere gute Quellen dazu, aber eine, die ich mag, ist

AW Joshi, Elemente der Gruppentheorie für Physiker .

Ist Spiegelung nicht eine Symmetrie, die durch eine Linie definiert wird?
Ja, aber diese Linie geht durch den Symmetriepunkt.
Herkömmliche Elementarzellen- und Punktgruppensymmetrien?
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