Bravais-Gitterpunktgruppen

Ich versuche, Bravais-Gitterpunktgruppen als Permutationen von Gitterpunkten zu beschreiben. Dabei stoße ich auf ein Problem: Ich finde nur Beschreibungen von Bravais-Gitterpunktgruppen in Form von Kristallsystemen. Bravais-Gitter können jedoch in derselben Kristallfamilie sein und die "gleiche" Punktgruppe haben, aber unterschiedliche Permutationsgruppen für ihre Gitterpunkte haben.

Um dies zu verdeutlichen, können wir ein Beispiel in 2d nehmen. Wie auf dieser Wikipedia-Seite erklärt , sind sowohl die rechteckigen als auch die zentrierten rechteckigen Gitter Teil derselben Kristallfamilie und können als dieselbe Punktgruppe aufweisend angesehen werden$D_2$. Bei Anwendung einer Symmetrietransformation werden die Punkte jedoch nicht für beide Gitter in gleicher Weise permutiert.

Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, eine primitive Einheitszelle für jedes Gitter zu betrachten und ihre Symmetrie zu betrachten. Die rechteckige Einheitszelle hat Symmetrieelemente: Identität, Drehung um 180, horizontale Reflexion, vertikale Reflexion.

Für die rhomboedrische Einheitszelle sind Symmetrieelemente: Identität, 180-Rotation, Spiegelung in Bezug auf beide Diagonalen.

In beiden Fällen ergibt die Anwendung eines Symmetrieelements natürlich unterschiedliche Permutationen von Gitterpunkten, und das interessiert mich. Wir könnten sie als unterschiedliche Gruppen sehen, die Operationen sind unterschiedlich und sie sind unterschiedliche Untergruppen des Quadrats.

Da sie aber isomorph sind und durch Wahl der zentrierten rechteckigen Elementarzelle statt der rechteckigen Elementarzelle aufeinander abgebildet werden können, werden sie beide als bezeichnet$D_2$auf Wikipedia und jeder Ressource, die ich finden konnte.

Meine Frage : Gibt es eine Klassifizierung von Bravais-Gitterpunktgruppen in 3D, die diese Unterschiede tatsächlich berücksichtigt? Gibt es alternativ eine Beschreibung der Formen aller primitiven Zellen (die keine basis-, körper- oder flächenzentrierten Elementarzellen verwenden)? Damit könnte ich diese Gruppen selbst finden, indem ich mir die Symmetrie jeder Form anschaue, obwohl das mühsam wäre.