Tessellation: Was bedeutet die Spur einer Rotationsmatrix?

Der kristallographische Restriktionssatz besagt, dass man mit kein periodisches Gitter haben kann N -fache Rotationssymmetrie, mit N anders als 1,2,3,4 und 6 (für 2D und 3D).

Es gibt viele Möglichkeiten, den Satz zu beweisen, siehe Wikipedia-Artikel . Ich verstehe einige von ihnen, aber einer der Beweise geht so:

Betrachten Sie ein periodisches Gitter, das in Bezug auf symmetrisch ist N -fach Drehungen um eine bestimmte Achse. Die Spur der Matrix, die der räumlichen Drehung um die gegebene Achse zugeordnet ist, ist entweder 2 cos ⁡ ( 2 π N ) (2D) bzw 1 + 2 cos ⁡ ( 2 π N ) (3D). Da die Rotationsmatrix Gitterpunkte in andere Gitterpunkte abbildet, muss die Spur eine ganze Zahl sein . Die einzige Lösung dafür ist die Bedingung N gleich 1,2,3,4 oder 6 sein.

Die Lösung und warum die Spur so ist, verstehe ich, indem ich einfach die Rotationsmatrix schreibe, aber ich hätte gerne mehr Einblick darüber, warum die Spur eine ganze Zahl sein muss, um eine Darstellung einer Symmetrieoperation des Gitters zu sein.

Hat Trace=Integer im Allgemeinen eine Bedeutung?

Lustige Trivia, wahrscheinliche Tatsache: Ich bin mir ziemlich sicher, dass dieser Beweis Donald Coexter zu verdanken ist, in einem weitgehend negativen Bericht über ein Papier, das er überprüfte. Das Thema der Arbeit war dieser Satz, und die Arbeit war viele Seiten lang. Coexters gesamte Rezension war ein kurzer Absatz, einschließlich seines Beweises desselben Theorems. Ich kann die Referenz dafür gerade nicht finden; Die Geschichte ist ziemlich humorvoll (aufgrund von Coexters beredter Sprache in dieser Angelegenheit).
Ich würde es gerne sehen. Er kritisierte das Theorem?
Nein, er war diplomatisch, aber sarkastisch und kritisierte die Länge der Beweise des Papierautors.

Antworten (1)

Betrachten Sie die Transformation eines Satzes primitiver Übersetzungsvektoren e A , A = 1... D von a D -dimensionales Gitter unter Rotation Ö :

Ö e A = ∑ B = 1 D k A B   e B .
Wenn Rotation eine Symmetrie eines Gitters ist, dann Koeffizienten k A B sind ganze Zahlen . Also Rotationsmatrix eingeschrieben e A basis hat ganzzahlige Elemente und eine ganzzahlige Spur. Trace ist unter linearen Transformationen unveränderlich. Daher hat die in jeder Basis geschriebene Rotationsmatrix eine ganzzahlige Spur.

Warum sind die k_ab ganze Zahlen?
Weil Ö e A Übersetzungsvektor und ist e A sind primitive Translationsvektoren. Stellen eines Gitters werden unter Symmetrietransformation zu Stellen desselben Gitters. Somit Ö e A ist Übersetzung.
Oder anders gesagt, wenn e A sind primitive Translationsvektoren, dann können ALLE Gitterpunkte als Summe ganzzahliger Werte geschrieben werden * e A . Das macht es zu einem Gitter.
@Gec gibt es kein Problem, wenn Ihre Basis nicht orthogonal ist?
@Mauricio nein, kein Problem. Trace ist unter allen linearen Transformationen unveränderlich, nicht nur orthogonal.
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