Satz von Bloch für ein Gitter mit Untergittern

Der Satz von Bloch besagt Folgendes: Angenommen, wir haben einen Hamiltonoperator

H = P 2 2 M + v ( X )

Wo v ( X + A ) = v ( X ) , dann nehmen die Wellenfunktionen die Form an ψ k ( X ) = e ich k X u k ( X ) Und u k ( X + A ) = u k ( X ) .

Wenn wir ein Gitter haben, das Untergitter hat, wie Graphen, das zwei Untergitter hat A Und B , dann habe ich hier in Gl. (2) und hier in Gl. (2.5) dass, da die Translation zwischen den beiden Untergittern keine Symmetrie des Hamiltonoperators ist, wir die Bloch-Wellenfunktionen schreiben müssen als

ψ k ( X ) = ψ k A ( X ) + ψ k B ( X )

Wo ψ k A Und ψ k B sind Bloch-Wellenfunktionen für jedes Untergitter. Ich verstehe nicht, warum dies der Fall ist. Für Graphen würde ich erwarten, dass der Hamiltonian geschrieben werden kann als

H = P 2 2 M + v A ( X ) + v B ( X )

Wo v A ( X ) Und v B ( X ) sind die periodischen Potentiale jedes Untergitters. Da jedoch jedes Untergitter die gleiche Periodizität hat, könnte ich einfach schreiben v ( X ) = v A ( X ) + v B ( X ) und wenden Sie einfach den Satz von Bloch wie oben angegeben mit einer einzigen Lösung an ψ k ( X ) . Woher weiß ich, dass ich die Wellenfunktion in die Blochfunktionen der einzelnen Untergitter zerlegen kann? Wie „sieht“ der Satz von Bloch die Untergitter?

Ich könnte meine Frage in Begriffen der Gruppentheorie umformulieren. Der Hilbertraum H der Theorie bildet eine Darstellung der diskreten Übersetzungen T = { T ( A ) : A ∈ Λ } , Wo Λ ist das Bravais-Gitter. Wenn ich der Einheitszelle zwei Atome hinzufüge, wie in Graphen, hat sich das Bravais-Gitter nicht geändert, dh die Periodizität des Gitters hat sich nicht geändert, also bleibt die Symmetriegruppe des Gitters bestehen T , die obigen Ergebnisse implizieren jedoch, dass sich der Darstellungsraum wie aufgeteilt hat H = H A ⊕ H B , Wo H A / B sind irreps von T für jedes Unterverzeichnis. Wie zeige ich das? Woher weiß der Satz von Bloch von den Untergittern?

Antworten (1)

Es gibt eigentlich keinen Widerspruch zwischen dem, was Sie sagen, und dem, was die beiden verlinkten Dokumente sagen. Tatsächlich beschreiben die beiden Dokumente die Lösung der Wellengleichung in Form einer Tight-Binding-Lösung , die zwar eine Bloch-Wellenfunktion ist, aber als Summe von Wellenfunktionen mit Termen konstruiert ist, die in den beiden Untergittern zentriert sind.

Erinnern Sie sich, dass die Idee des Tight-Binding-Modells darin besteht, die Bloch-Wellenfunktionen als Überlagerung von Atomorbitalen zu konstruieren, die den Atomen des Kristallgitters zugeordnet sind. Da das Graphengitter ein Gitter mit zweiatomiger Basis ist, berücksichtigt die Lösung die Überlagerung der Atomorbitale von jedem der beiden Atome. Vgl. dazu auch NW Ashcroft und ND Mermin, Solid state physics , Kapitel 10, Abschnitt General Remarks on the Tight Binding Method, Bemerkung 4.

Als zusätzliche Bemerkung, die Zerlegung von ψ hinein ψ A + ψ B kann als willkürlich angesehen werden, da ψ A Und ψ B sind im Allgemeinen nicht einmal orthogonal, sodass man jeden Begriff nach Belieben neu definieren könnte (z. ψ A ' ( X ) = ψ A ( X ) + ϵ ( X ) Und ψ B ' ( X ) = ψ B ( X ) − ϵ ( X ) ).
Gilt dieses Argument auch, wenn wir stattdessen die Wannier-Basis wählen? Die Wannier-Basis wird manchmal für enge Bindungsmodelle anstelle von Atomorbitalen verwendet, da sie eine orthonormale Basis bildet. Wannier-Zustände sind die Fourier-Transformation der Bloch-Zustände, und es gibt genau einen Wannier-Zustand für jeden Bravais-Gittervektor. Aus diesem Grund gäbe es die Hälfte der Wannier-Zustände als Atomplätze in Graphen (da jeder Bravais-Gitterplatz zwei Atomplätze pro Einheitszelle enthält), können wir also Wannier-Zustände nicht als Grundlage für ein enges Bindungsmodell verwenden?
@Hermitian_hermit Abhängig davon, wie Sie die Bloch-Wellenfunktionen zerlegen, können Sie Wannier-Funktionen konstruieren, die auf beide Atome der Basis zentriert sind. Oder Sie können die zweiatomige Basis als Molekül betrachten und die Wannier-Funktionen aus dem Gitter der Moleküle konstruieren. Erinnern Sie sich auf jeden Fall daran, dass der Zweck der Tight-Binding-Methode darin besteht, eine Näherungslösung der Schrödinger-Gleichung zu konstruieren, und man versucht normalerweise, zumindest als erste Näherung, eine einfache Lösung zu konstruieren.
Wenn Sie die Wannier-Funktionen mit der Tight-Binding-Methode verwenden möchten, sollten Sie meines Wissens jedenfalls bereits mit einer anderen Methode eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden haben. Es wird also komplizierter.
Satz von Bloch für ein Gitter mit Untergittern
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