Geometrischer Nachweis der Anzahl der Gitterpunkte im 3D-Gitter

Es ist allgemein bekannt, dass die Anzahl der Gitterpunkte in dreidimensionalen (3D) Objekten eines einfachen kubischen Gitters, eines kubisch raumzentrierten Gitters und eines kubisch flächenzentrierten Gitters 1, 2 bzw. 4 beträgt (Quelle ) . Was ich nicht verstehe, ist, wie ich beweisen kann, dass der Wert jedes Gitterpunkts in diesen Gittern in der Ecke, im Mittelpunkt des Würfels und im Mittelpunkt der Oberfläche (Fläche) liegt$\frac{1}{8}$,$1$, Und$\frac{1}{2}$.

Ich stellte die Hypothese auf, dass die Werte aufgrund ihrer Definition des Gitters und der primitiven Zelle selbst gemacht wurden, das

Gitter ist eine unendliche Anordnung von Punkten im Raum, bei denen jeder Punkt eine identische Umgebung hat (d. h. der Abstand voneinander sollte gleich sein). Ein Gitter kann als regelmäßige Kachelung eines Raums durch eine primitive Zelle betrachtet werden.

Eine primitive Zelle ist eine Zelle mit minimalem Volumen (eine Einheitszelle), die einem einzelnen Gitterpunkt einer Struktur mit diskreter Translationssymmetrie entspricht.

( Der erste Satz in der Definition von Gitter stammt aus der Vorlesungsnotiz, der zweite Satz in der Definition von Gitter stammt aus Wikipedia. )

Daher dachte ich, dass diese Gitterpunkte in einem 3D-Gitter Gitterpunkten in einer 3D-Einheitszelle entsprechen (weil die primitive Zelle einer Struktur entspricht, die eine Zelle mit minimalem Volumen hat , die eine 3D-Einheitszelle ist) und mit der Definition des Gitters alle Punkte sollten gleiche Abstände zueinander haben, also sollten die 8 Ecken in einem einfachen kubischen Gitter nur einen einzelnen Gitterpunkt darstellen. Aber ich denke nicht, dass es Sinn macht, weil die Ecken einen Abstand von haben können$l \sqrt{2}$Und$l \sqrt{3}$($l$ist die Länge der Würfelkante) zu anderen Ecken und diese Punkte sind nicht identisch (und können nicht als einzelner Gitterpunkt dargestellt werden).

1. Welche Art von Gitter macht die Gitterpunktwerte$\frac{1}{8}$,$1$, Und$\frac{1}{2}$? Viele Quellen sagten, dass die Gitter harte Kugeln (Atome) sind, aber ich glaube nicht, dass diese Gitter für diese Situation gemacht wurden, weil ich denke, dass Bravais-Gitter nicht für harte Kugeln gemacht wurden (die primitive Zellenseite erwähnt keine Kriterien für das Gitter ). Sind die Werte für einfache Punkte (nicht harte Kugeln) von Bravais-Gittern korrekt?

2. Welchen Wert hat der Gitterpunkt in der Mitte des Würfels?

3. Funktioniert der Wert des Gitterpunkts in der Ecke ($\frac{1}{8}$) in einer hexagonalen 3D-Einheitszelle? Wikipedia sagte, dass die Einheitszelle aufgrund von zwei nicht äquivalenten Sätzen von Gitterpunkten nicht primitiv ist (daher Nicht-Bravais-Gitter). Ich kann den Wert jedes Gitterpunkts in der Zelle nicht bestimmen und beweisen, dass er keinem einzelnen Gitterpunkt entspricht (weil es keine primitive Zelle ist).

Gibt es einen geometrischen Beweis, um den Wert des Gitterpunktes in diesen dreidimensionalen Gittern zu erhalten?