Waben-Bravais-Gitter mit Basis

Ich hatte gerade meine zweite Festkörperphysik-Vorlesung und wir sprachen über Bravais-Gitter. Soweit ich weiß, ist ein Bravais-Gitter ein unendliches Netzwerk von Punkten, das von jedem Punkt im Netzwerk aus gleich aussieht. Zum Beispiel:

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wäre ein Bravais-Gitter. Andererseits dies:

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ist kein Bravais-Gitter, da das Netzwerk für verschiedene Punkte im Netzwerk unterschiedlich aussieht. In der Vorlesung wurde jedoch kurz erwähnt, dass wir dies zu einem Bravais-Gitter machen könnten, indem wir eine geeignete Basis wählen:

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Das Problem ist, ich sehe nicht wirklich, wie das etwas ändert. Die Positionen der Atome/Punkte haben sich relativ zueinander nicht verändert.

1) Muss ich mir die beiden Atome zu einem „vereint“ vorstellen? Wenn ich das mache, wo befindet sich dann das neue „2-in-1“-Atom?

2) Wie kann ich einen primitiven Vektor konstruieren, der zu diesem Punkt führt?

3) Gibt es unendlich viele Punkte/Atome, die ich kombinieren kann? Gibt es eine unendliche Menge an Basis, die ich wählen kann?

4) Müsste die Wigner-Seitz-Zelle über zwei Punkten liegen, wenn ich eine zweiatomige Basis wähle?

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Ja, die beiden Atome sind die 'Basis' der Raumgruppe. Die Vektoren des Bravais-Gitters verlaufen beispielsweise zwischen der Mitte der Linien, die die Basisatome mit äquivalenten Punkten der anderen Atompaare auf anderen Plätzen des Bravais-Gitters verbinden.
@JonCuster Danke für die schnelle Antwort. Also die Vektoren A 1 , A 2 Ich habe gezeichnet, sind keine brauchbaren Basisvektoren?
Nein, sie sind absolut in Ordnung. Wenn Sie sich entlang dieser Vektoren bewegen, erhalten Sie dieselbe "Landschaft", wo immer Sie sich auf dem Gitter befinden. Setzt man den Scheitelpunkt auf eines der Basisatome, erhält man jedes andere äquivalente Basisatom.
Die Zelle und die Vektoren in Ihrer Zeichnung sind gut
@JonCuster Sie sagen also, eine bessere Wahl des Gitters wäre es, den "Ursprung" des Gitters auf eines der Atome zu legen?
Nein - Sie haben einen schönen Ort gewählt. Jeder Ort ist in Ordnung, aber einige geben möglicherweise einen besseren Einblick. Deines ist eines, eines der Basisatome ist ein anderes. Eine Ecke der Wigner-Seitz-Einheitszelle wäre eine dritte.
@JonCuster Unter Berücksichtigung, dass ich die neuen Basisvektoren in Bezug auf die alten Einheitsvektoren finden möchte z 1 , z 2 , denke ich, dass die Verwendung eines der Atome als Ursprung meines Gitters einfacher zu berechnen ist

Antworten (2)

Die Antwort auf fast alles ist: ja :) deine Intuition ist ganz richtig, und dein Bild ist auch gut.
Sie haben zwei verschiedene Arten von Punkten, und jedes Paar mit einem Punkt von jeder Art wäre eine geeignete Basis. Angrenzende werden Sie natürlich in der Praxis übernehmen.
Sie könnten auch mehr als zwei Punkte als primitive Zelle nehmen, aber das ist keine gute Wahl, es wird nicht primitiv sein. Sie interessieren sich für die kleinste Zelle, weil dann die Symmetrie besser zu sehen ist.
Dann sieht die Nachbarschaft aus jeder Zelle "gleich" aus. Oder genauer gesagt, Sie können das gesamte Netzwerk erhalten, indem Sie Ihre Zelle durch ganzzahlige Vielfache der beiden Vektoren übersetzen. Es ist also im Wesentlichen ein rhombisches Gitter.

Die Wigner-Seitz-Zelle muss zwei Atome enthalten, ja, Sie können ein Sechseck nehmen (das drei Drittel jedes Atoms enthält)

OK, ich verstehe. In meinem zweiten Bild habe ich einen Satz primitiver Vektoren. Wenn ich das Gitter wie im dritten Bild zeichne, wird es dann nicht unmöglich sein, die neuen Basisvektoren zu finden?
Ihr Raster im dritten Bild ist in Ordnung. Was meinst du mit "unmöglich zu finden", du hast es gut gezeichnet (du meinst A 1 Und A 2 , Rechts?); Sie können sie auch von einem Atom zu den benachbarten Atomen der gleichen Art ziehen, das ist dasselbe.
Lassen Sie mich ein anderes Bild zeichnen. Ich werde meinen Eröffnungsbeitrag editieren.
Ich habe meinem Eröffnungspost ein weiteres Diagramm hinzugefügt. Mein Problem ist, wie ich die neuen roten Basisvektoren mit den alten Einheitsvektoren ausdrücken würde z 1 , z 2 . Es scheint keine Verbindung zu geben
Aber was ist der Sinn von z 1 Und z 2 ? Warum wollen Sie die Basisvektoren, die für das Problem geeignet sind, durch andere ausdrücken, die es nicht sind? :) Wie auch immer: es scheint, dass die Basisvektoren sind 2 z 2 Und 3 / 2 ∗ z 1 + z 2 , wenn ich das richtig verstehe, was du damit meinst z 1 , 2

Die Scheitel einer zweidimensionalen Wabe bilden kein Bravais-Gitter. Ein Nicht-Bravais-Gitter wird oft als Gitter mit einer Basis bezeichnet . Speziell für Ihre Frage kann es als zweidimensionales dreieckiges Bravais-Gitter mit einer Zweipunktbasis dargestellt werden. Ebenso sind HCP-, Diamant-, CsCl-, NaCl-Strukturen ebenfalls keine Bravais-Gitter, sondern können als Gitter mit Basen beschrieben werden .

  1. Muss ich mir die beiden Atome zu einem „vereint“ vorstellen? Wenn ich das mache, wo befindet sich dann das neue „2-in-1“-Atom?

    Ja. Das neue „2-in-1“-Atom kann in der Mitte der Linie liegen, die die beiden benachbarten Atome verbindet.

  2. Wie kann ich einen primitiven Vektor konstruieren, der zu diesem Punkt führt?

    Der A 1 , A 2 Vektoren, die Sie so gezeichnet haben, dass der Ursprung in der Mitte der Linie liegt, die die beiden benachbarten Atome verbindet.

Verweise

  1. NW Ashcroft, ND Mermin, Festkörperphysik (Holt-Saunders, 1976). Kapitel 4.
Waben-Bravais-Gitter mit Basis
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