Miller-Indizes für hexagonale Kristallsysteme

Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass der Miller-Bravais-Index redundante Informationen enthält, da die Indizes in drei Richtungen zeigen, die um 120° voneinander entfernt sind. Das bedeutet, dass Sie anhand dieses Diagramms eine einfache geometrische Ableitung vornehmen können:

Die dritte Gleichung folgt unmittelbar aus der Vektoraddition von$\vec u$Und$\vec v$- Sie können sehen, dass$\vec t$weist in die entgegengesetzte Richtung.

Ebenso offensichtlich ist, wie ich das Bild gezeichnet habe,$\vec u = \vec{v'} + \frac12 \vec{u'}$Und$\vec v = \frac12 \vec{u'} - \vec v'$

Durch einfache Manipulation dieser Gleichungen gelangen Sie zu den Ausdrücken, die Sie zitieren.

In einem hexagonalen Kristallsystem kann wie in jedem anderen dreidimensionalen System jeder Vektor in einer Basis dargestellt werden, die aus 3 linear unabhängigen Vektoren besteht. Somit würden 3 solcher Vektoren ausreichen, um jede gewünschte Richtung in einem Kristall zu beschreiben.

Das folgende Bild zeigt eine hexagonale Einheitszelle mit 4 Achsen (dargestellt durch Vektoren):$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$,$\vec{a_3}$Und$\vec{z}$, verwendet, um Richtungen in einem Kristall zu indizieren. Vektoren$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$Und$\vec{a_3}$Sind$\mathit{not}$linear unabhängig. Konventionell wählen wir$\vec{a_3}$um der "zusätzliche" Vektor zu sein, und$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$, Und$\vec{z}$die "Haupt"-Vektoren, die sowohl 4- als auch 3-Index-Systemen gemeinsam sind.

Der Vektor$\vec{a_3}$ist definiert als$\vec{a_3} = -\left(\vec{a_1} + \vec{a_2}\right)$, was uns eine gewisse Intuition für das Anfordern gibt$t = -(u+v)$zu beachten, da u,v und t Komponenten entlang sind$\vec{a_1}, \vec{a_2}$Und$\vec{a_3}$, bzw. Wir hätten eine andere Beziehung zwischen verwenden können$u$,$v$Und$t$, aber diese ist die einfachste (wir brauchen eine zusätzliche Gleichung, damit die Vektorkomponenten eindeutig sind, da$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$Und$\vec{a_3}$sind nicht linear unabhängig).

Der Unterschied zwischen der 3-Index- (bezeichnet mit [u'v'w']) und der 4-Index-Darstellung (bezeichnet mit [uvtw]) besteht darin, dass wir bei Verwendung von 3 Indizes den Vektor ignorieren$\vec{a_3}$, und nur verwenden$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$Und$\vec{z}$(Die$\mathit{same}$ $\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$Und$\vec{z}$In$\mathit{both}$Repräsentationen - der einzige Unterschied besteht darin, zu haben oder nicht zu haben$\vec{a_3}$). Beachte das$\vec{a_1}$Und$\vec{a_2}$Sind$\mathbf{not}$senkrecht. Stattdessen machen sie eine$120^\circ$Winkel, also sind sie nicht die üblichen$\hat{x}$Und$\hat{y}$Vektoren, sondern solche, die die Symmetrie des Kristalls respektieren.

Nun, irgendein Vektor$\vec{v}$kann in beiden Darstellungen geschrieben werden (beachten Sie auch hier, dass der einzige Unterschied zwischen den beiden darin besteht$\vec{a_3}$in 4-Index-Notation vorhanden und in 3-Index-Notation fehlend):

$$\vec{v} = u'\vec{a_1} + v'\vec{a_2} + w'\vec{z} \tag{1} \label{1}$$ Und $$\vec{v} = u\vec{a_1} + v\vec{a_2} + t\vec{a_3} + w\vec{z} \tag{2} \label{2}$$

Als$\vec{a_3} = -\left(\vec{a_1} + \vec{a_2}\right)$, diese in die Gleichung einsetzen$\eqref{2}$wir bekommen:

$$\vec{v} = (u-t)\vec{a_1} + (v-t)\vec{a_2} + w\vec{z}$$

Durch Substitution$t = -(u+v)$wir kommen weiter

$$\vec{v} = (2u+v)\vec{a_1} + (2v+u)\vec{a_2} + w\vec{z} \tag{3} \label{3}$$

Gleichsetzen der Komponenten entlang der gleichen Vektoren aus$\eqref{3}$Und$\eqref{1}$wir bekommen

$$\begin{aligned} u' &= 2u+v\\ v' &= 2v+u\\ w' &= w \end{aligned}$$

Vorausgesetzt$u'$,$v'$Und$w'$bekannt sind, können wir das System lösen$u$,$v$Und$w$und erhalten

$$\begin{aligned} u &= \frac{1}{3} \left(2u'-v'\right)\\ v &= \frac{1}{3} \left(2v'-u'\right)\\ t &= -\left(u+v\right)\\ w &= w' \end{aligned}$$ wie gewünscht.