Abstand zwischen benachbarten Ebenen in einem Kristall

Ich konnte nur dieses Bild in schlechter Qualität finden. Auf jeden Fall sollte es dir eine Idee geben. Betrachten Sie zum Beispiel das erste Bild in der ersten Reihe:$(l,m,n)=(1,0,0)$in diesem Fall, und es ist leicht zu verifizieren, dass der Abstand zwischen den grauen Ebenen ist

$$d=a$$

Im zweiten Fall$(l,m,n)=(1,1,0)$, und das sieht man

$$d=\frac a {\sqrt 2}$$

usw.

Zur Frage: Benachbarte Ebenen sind Ebenen, die einander am nächsten sind, wenn der Abstand entlang der Normalen zur Ebene gemessen wird. Es ist wichtig zu verstehen, dass jeder Gitterpunkt genau eine der unendlichen Menge von Ebenen hat, die durch die Miller-Indizes beschrieben werden$(h k \ell)$durch sie hindurch. (Ich werde benützen$(h k \ell)$anstatt$(\ell m n)$wie das OP.) Ich stimme zu, dass vielen Erklärungen da draußen einige wichtige Informationen zu fehlen scheinen, daher ist hier eine etwas strenge Behandlung.

Abgesehen von einigen Sonderfällen sind Miller-Indizes wie folgt definiert. Finden Sie zuerst die Schnittpunkte der betreffenden Ebene entlang der drei Kristallachsen$\pmb{a}, \pmb{b}, \pmb{c}$in Form von Vielfachen der Gitterkonstanten, dh$m a, n b, o c$für ganze Zahlen$m, n, o$. Dann nehmen Sie die Kehrwerte von$m, n, o$und finde drei ganze Zahlen$h, k, \ell$das gleiche Verhältnis hat und dessen größter gemeinsamer Teiler 1 ist. Betrachten Sie als Beispiel die Ebene, die die schneidet$\pmb{a}$Achse am zweiten Gitterplatz, der$\pmb{b}$Achse am dritten Gitterplatz und die$\pmb{c}$Achse am ersten Gitterplatz. Die Kehrwerte von$2, 3, 1$Sind$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1$, die das gleiche Verhältnis wie haben$3, 2, 6$. So heißt das Flugzeug$(h k \ell) = (326)$.

Um den Abstand zwischen benachbarten Ebenen zu finden, hilft es, die „reziproken Gittervektoren“ zu verwenden, die definiert werden können als

$$\pmb{a^*} = V^{-1}\pmb{b} \times \pmb{c} \, , \quad \pmb{b^*} = V^{-1}\pmb{c} \times \pmb{a} \, , \quad \pmb{c^*} = V^{-1}\pmb{a} \times \pmb{b} \,$$ Wo$V = \pmb{a} \cdot ( \pmb{b} \times \pmb{c})$ist das Volumen der Einheitszelle. Diese haben konstruktionsbedingt die günstige Eigenschaft, dass z.$\pmb{a} \cdot \pmb{a^*} = 1$, während$\pmb{a} \cdot \pmb{b^*} = 0$, usw. Es stellt sich heraus, dass der Vektor$\pmb{H} = h \pmb{a^*} + k \pmb{b^*} + \ell \pmb{c^*}$ist normal für die$(h k \ell)$Ebene. Dies kann demonstriert werden, indem gezeigt wird, dass die Skalarprodukte von$\pmb{H}$mit zwei nicht kolinearen Vektoren in der$(h k \ell)$-Flugzeug, zum Beispiel,$n \pmb{b} - m \pmb{a}$Und$o \pmb{c} - n \pmb{b}$, sind Null.

Betrachten Sie nun das Flugzeug$P_0$die durch den Gitterpunkt am Ursprung geht und definiert ist durch$\pmb{H} \cdot \pmb{r} = 0 \, ,$Wo$\pmb{r} = x \pmb{a} + y \pmb{b} + z \pmb{c}$für Koordinaten$x, y, z$. Wegen der bequemen Eigenschaften der oben beschriebenen reziproken Gittervektoren können wir umschreiben$\pmb{H} \cdot \pmb{r} = 0$als$h x + k y + \ell z = 0$. Die Gitterpunkte sind diese$\pmb{r}$wofür$x, y, z$ganze Zahlen sind, nennen Sie sie$p, q, s$, dh wir haben$h p + k q + \ell s = 0$. Der Ursprung ist der triviale Fall, wo$p = q = s = 0$.

Wir wollen jetzt das nächste Flugzeug finden, es nennen$P_1$, indem Sie sich vom Ursprung entlang des Positivs bewegen$\pmb{H}$Richtung. Die Gleichung von$P_1$Ist$\pmb{H} \cdot \pmb{r} = \delta$, oder$h p + k q + \ell s = \delta$für ein gewisses Delta. Die geometrische Interpretation des Skalarprodukts bedeutet das$P_1$sollte den kleinsten Wert von besitzen$\delta$möglich. Außerdem, weil$h, k, \ell$Und$p, q, s$sind alles ganze Zahlen, so muss es auch sein$\delta$. Der kleinstmögliche ganzzahlige Wert von$\delta$ist 1. Wir finden garantiert$p, q, s$befriedigend$h p + k q + \ell s = 1$wegen der Identität von Bezout , die das für zwei ganze Zahlen sagt$a$Und$b$(nicht das gleiche$a$Und$b$wie oben, aber uns gehen die Variablennamen aus) mit dem größten gemeinsamen Teiler$f$(geschrieben$\mathrm{gcd}(a,b)=f$), gibt es ganze Zahlen$x$Und$y$(wieder nicht die$x$Und$y$oben) so dass$ax + by = f$. Dies lässt sich auf mehr als ein Paar ganzer Zahlen verallgemeinern. So können wir immer finden$p, q, s$so dass$h p + k q + \ell s = 1$Weil$\mathrm{gcd}(h, k, \ell) = 1$.

Jetzt wissen wir es$\delta$, möchten wir den Abstand zwischen finden$P_0$Und$P_1$entlang gemessen$\pmb{H}$. Dies kann zunächst durch Mitreisen erreicht werden$\pmb{a}$vom Ursprung bis zur Begegnung$P_1$, dh finden$x$so dass$H \cdot (x \pmb{a}) = 1$. Dies hat eine Lösung$x = \frac{1}{h}$, so dass der Vektor$\pmb{v} = \frac{1}{h} \pmb{a}$reicht von$P_0$am Ursprung zu$P_1$entlang der$\pmb{a}$Richtung. Schließlich dann der planare Abstand$d$ist die Projektion von$\pmb{v}$entlang der$\pmb{H}$Richtung. Das ist

$$d = \pmb{v} \cdot \frac{\pmb{H}}{|\pmb{H}|} = \frac{1}{|\pmb{H}|} \, .$$

Für den Spezialfall des primitiven kubischen Gitters sind die Gittervektoren alle orthogonal mit einer Gitterkonstante$a$, dh$\pmb{a} = a \hat{\pmb{x}}$und so weiter, und die reziproken Gittervektoren sind$\pmb{a^*} = \frac{1}{a} \hat{\pmb{x}}$usw. Deshalb$|\pmb{H}| = \frac{1}{a} \sqrt{h^2 + k^2 + \ell^2}$, geben

$$d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + \ell^2}} \, .$$