Form von Tensoren 3. Ordnung in Oh,O,TdOh,O,TdO_h, O, T_d und D3D3D_3-Punkt-Gruppen

Im realen Raum, wenn ein Koordinatenvektor gegeben ist$(x_1, x_2, x_3)$, berechnet der Tensor eine Größe

$$s=T_{ijk}x_ix_jx_k,$$

wobei bei wiederholten Indizes eine implizite Summierung von 1 bis 3 erfolgt. Anwenden einer Punktgruppentransformation,

$$x'_i = R_{ij}x_j,$$

und wir wollen, dass die neuen Koordinaten des Tensors erfüllt sind

$$s=T'_{ijk}x'_ix'_jx'_k.$$

Daher

$$T_{ijk}x_ix_jx_k=s=T'_{ijk}R_{il}R_{jm}R_{kn}x_lx_mx_n$$

muss für alle gültig sein$x_1, x_2, x_3$und deshalb

$$T_{lmn} = T'_{ijk}R_{il}R_{jm}R_{kn},\text{ for all } l,m,n=1,2,3.$$

Das Erfordernis, dass der Tensor invariant ist, erfordert dies$T_{ijk}=T'_{ijk}$für alle$i,j,k=1,2,3$und hier sind deine gleichungen:

$$T_{lmn} = T_{ijk}R_{il}R_{jm}R_{kn},\text{ for all } l,m,n=1,2,3.\tag{1}$$

Lassen Sie uns das gewünschte Beispiel ausarbeiten. Arbeiten mit der$R$Einstellung (nicht identisch$R$wie oben, nur für den Fall, dass Sie sich fragen!), hat die Gruppe den folgenden einzelnen Generator

$$R=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},$$

was den Basisvektor einfach zirkulär permutiert. Ich habe diese Einstellung gewählt, weil dies macht$R$so spärlich wie möglich, wodurch das Schreiben von Gleichungen (1) vereinfacht wird. Tatsächlich können wir sogar die Nicht-Null-Elemente der Rotationsmatrix explizit charakterisieren:$R_{ij}$ist ungleich null iff$\newcommand{\modulo}[2]{#1\,(\textrm{mod}\,#2)}\modulo{i=j+1}{3}$. Somit lauten die Gleichungen (1).

$$T_{lmn} = T_{\modulo{l+1}{3},\modulo{m+1}{3},\modulo{n+1}{3}},\ \forall l,m,n=1,2,3.$$

Natürlich gibt es im Allgemeinen keine so saubere Formel, weil das spärliche Muster der Rotationsmatrix nicht so sauber ist. Sie können die Langeweile nicht vermeiden, oder Sie können einen CAS verwenden oder ein kleines Skript in Ihrer bevorzugten Sprache schleudern.