Greensche Funktionen in realer und imaginärer Zeit

In Echtzeit kann man die Zweipunktfunktion einer gegebenen Theorie berechnen

$$\begin{equation} G(\vec{x},t)=\langle \Omega | \phi(\vec{x},t)\phi^\dagger (0,0)|\Omega\rangle =\int_{\phi(0,0)}^{\phi(\vec{x},t)} \mathcal{D}\phi\ e^{-\frac{i}{\hbar}S[\phi]}\phi(\vec{x}',t')\phi(\vec{x},t) \end{equation}$$

wobei die Grenzen des Pfadintegrals mit dem Anfangs- und Endzustand übereinstimmen sollten.

Andererseits weiß ich, dass das erzeugende Funktional ist$\mathcal{Z}$

$$\begin{equation} \mathcal{Z}=\langle\phi'|e^{-iHT}|\phi\rangle=\int_\phi^{\phi'}e^{-\frac{i}{\hbar}S[\phi]} \end{equation}$$

kann mit der Quantenzustandssumme identifiziert werden$Z$wenn wir auf imaginäre Zeit auswerten$t=-i\tau$und wir verfolgen den Anfangs- und Endzustand

$$\begin{equation} Z=\sum_{\phi}\langle \phi | e^{-\beta H}|\phi\rangle =\int_{\phi(0)=\phi(\beta)}e^{-\beta S_E[\phi]} \end{equation}$$

Das Verhältnis zwischen quantenmechanischen und thermodynamischen Erwartungswerten lautet also: analytisch fortsetzen$t\rightarrow -i\tau$mit Periode$\tau \in [0,\beta]$, Anfangs- und Endzustand gleich setzen und über sie summieren. Nun, in jedem Buch, das ich sehe, die Echtzeit-Green-Funktion

$$\begin{equation} G(\vec{x},t)= \langle \Omega | \phi(\vec{x},t)\phi^\dagger (0,0)|\Omega\rangle \end{equation}$$

und die Green-Funktion der imaginären Zeit

$$\begin{equation} \mathcal{G}(\vec{x},\tau)= \frac{1}{Z}\text{Tr}\Big[e^{-\beta H} \phi(\vec{x},\tau)\phi^\dagger (0,0)\Big] \end{equation}$$

verwandt sind durch

$$\begin{equation} G(\vec{x},t)=\mathcal{G}(\vec{x},i\tau) \end{equation}$$

Das heißt, wir könnten im Grunde nur eine Funktion definieren$G(\vec{x},z)$mit$z\in\mathcal{C}$das entspricht in Wirklichkeit der Green Function von QM$z$und gleich dem thermodynamischen Durchschnitt für imaginär$z$.

Meine Frage ist folgende

Im Path-Integral-Formalismus mussten wir zwei Dinge tun, um von einem Durchschnitt zum anderen zu gelangen; Wir müssen in die imaginäre Zeit gehen und etwas gegen die Spur unternehmen. In den Funktionen von Green scheint es jedoch, dass es ausreicht, zur imaginären Zeit zu gehen, als ob die Spur automatisch erledigt würde. Wie ist das so?