Funktionale Ableitung für dieselbe Funktion, ausgedrückt vor und nach der Wick-Rotation

Letztendlich ist es eine Sache der Konventionen, aber hier ist eine Argumentation:

1. Es gibt zwei Arten von echten Integrationsmaßnahmen$d^nx$: ein unsigned (signed), der sich bei Koordinatenänderung mit (ohne) einem absoluten Wert transformiert$|\cdot|$des Jacobi-Faktors bzw. Wir betrachten letzteres, da dies natürlich auf komplexe Koordinaten fortgeführt werden kann, wie es für eine Wick-Rotation benötigt wird .

2. Das Produkt$d^nx~\frac{\delta}{\delta \phi(x)}$bleibt unter Koordinatentransformationen invariant$x\to x^{\prime}$. Also seit dem ganzzahligen Maßfaktor$d^nx$transformiert mit einem Jacobi-Faktor (ohne Betrag) die funktionale Ableitung $\frac{\delta}{\delta \phi(x)}$mit einem inversen Jacobi-Faktor transformiert.

3. Die obige Argumentation legt nahe, dass man zuweisen sollte$^1$

   $$x^0_E~=~ix^0_M, \qquad d^nx_E~=~i d^nx_M, \qquad \frac{\delta^M}{\delta \phi(x)}~=~i\frac{\delta^E}{\delta \phi(x)}.$$

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$^1$Beachten Sie, dass zusätzlich$i$-Faktoren können für Objekte auftreten, die sich unter Wick-Rotation nicht trivial transformieren. Beispielsweise transformiert sich die Lagrange-Dichte als doppelte Zeitableitung:${\cal L}_M~=~i^2{\cal L}_E$.

Die Antwort bleibt eigentlich unverändert. Sie nehmen immer noch eine funktionale Ableitung in Bezug auf denselben Punkt. Wenn Sie auf die Definition der funktionalen Ableitung zurückgreifen, wie z. B. die in Wikipedia, werden Sie sehen, dass es auf den Koeffizienten ankommt.