Wie kann ich das Tunnelproblem durch das euklidische Pfadintegral verstehen, bei dem die quadratische Fluktuation einen negativen Eigenwert hat?

I) Hier geben wir eine Erklärung auf physikalischer Strengeebene. Wir machen QM (im Gegensatz zu QFT) mit einem 1D-Positionszielraum. Colemanet. Al. in Ref. 1 interessieren sich letztendlich für die Minkowskische Zustandssumme/das Pfadintegral

$$\begin{align}Z^M~=~& \langle x_f | \exp\left[-\frac{iH \Delta t^M e^{-i\epsilon}}{\hbar} \right] | x_i \rangle \cr ~=~&N \int [dx] \exp\left[\frac{iS^M[x]}{\hbar} \right], \end{align}\tag{A}$$

mit Minkowski-Aktion

$$S^M[x]~=~\int_{t^M_i}^{t^M_f} \! dt^M \left[ \frac{e^{i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^M}\right)^2-e^{-i\epsilon}V(x)\right],\tag{B}$$

weil dies am einfachsten mit der Physik verbunden ist, wie zB Unitarität , optisches Theorem und Zerfallsraten (im Gegensatz zur euklidischen Signatur). Wir haben Feynmans aufgenommen$i\epsilon$-Vorschrift , damit das Argument des Exponentials (A) einen infinitesimalen positiven Realteil hat, um die Konvergenz zu unterstützen. Die entsprechende euklidische Zustandssummenfunktion/Wegintegral ist

$$\begin{align} Z^E~=~& \langle x_f | \exp\left[-\frac{H \Delta t^E e^{i\epsilon}}{\hbar}\right] | x_i \rangle \cr ~=~&N \int [dx] \exp\left[-\frac{S^E[x]}{\hbar} \right], \end{align}\tag{C}$$

mit euklidischer Wirkung

$$S^E[x]~=~\int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E \left[ \frac{e^{-i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^E}\right)^2+e^{i\epsilon}V(x)\right].\tag{D}$$

Die Minkowskische und die euklidische Formulierung sind über eine Wick-Rotation verbunden

$$t^E e^{i\epsilon}~=~e^{i\frac{\pi}{2}} t^M e^{-i\epsilon}. \tag{E}$$

In Erwartung, dass wir Zweigschnitte und Singularitäten an der imaginären und realen Zeitachse treffen könnten, haben wir die verkürzt$\frac{\pi}{2}$Dochtdrehung mit einem unendlich kleinen Winkel$\epsilon$an beiden Enden der Dochtrotation. Mit anderen Worten, wir haben eine eingefügt$i\epsilon$-Vorschrift auch in der euklidischen Zustandssumme (C). Wenn wir dies nicht tun würden, wäre die euklidische Zustandssumme (C) offensichtlich positiv (möglicherweise unendlich), und es wäre unmöglich, das Hauptkomplexergebnis von Lit. abzuleiten. 1,

$${\rm Im}(Z^E)_{\text{one bounce}} ~\approx~\frac{Nz_1e^{-\frac{S^E[\bar{x}]}{\hbar}}}{2\sqrt{|\det^{\prime}A|}},\tag{2.23}$$

Wo$A$Und$z_1$sind in Gl. (I) bzw. (L) unten. Die Primzahl in Gl. (2.23) bedeutet, dass Nullmoden ausgeschlossen werden sollen.$^1$

II) Die Auswertung des euklidischen Pfadintegrals (C) erfolgt nach der Methode des steilsten Abstiegs (MSD), wobei gilt:$\hbar$wird als kleiner Parameter behandelt. Es ist eine euklidische Version der WKB-Näherung. Die Formel für den steilsten Abstieg zeigt explizit eine quadratische Annäherung an die euklidische Wirkung (D) um Sattelpunkte. Die MSD-Integrationskontur sollte in Richtung des steilsten Abfalls durch einen Sattelpunkt verlaufen. Man sollte sich darüber im Klaren sein, dass die höheren Ordnungen der Wirkung (D) implizit in die Begründung der MSD-Approximation eingehen, vgl. zB Abschnitt VII unten.

III) Es wäre eine interessante Übung, das umzusetzen$i\epsilon$-Vorschrift aus Abschnitt I konsequent im Folgenden. Hier verwenden wir es jedoch nur für die Auswertung eines (was naiv erscheint) eines unbeschränkten Gaußschen Integrals (wenn man nicht quadratische Beiträge ignoriert):

$$\begin{align} \int_{\mathbb{R}} & \!\frac{dc_0}{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp\left[-\frac{e^{i\epsilon}V(c_0)~\Delta t^E}{\hbar}\right] \cr ~=~&\int_{\mathbb{R}} \!\frac{dc_0}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[\frac{|\lambda_0|}{2\hbar} \left(e^{i\frac{\epsilon}{2}}c_0\right)^2+\text{non-Gaussian terms}\right] \cr ~\stackrel{z=e^{i\frac{\epsilon}{2}}c_0}{=}&~ e^{-i\frac{\epsilon}{2}} \int_{-e^{i\frac{\epsilon}{2}}\infty}^{e^{i\frac{\epsilon}{2}}\infty} \! \frac{dz}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[\frac{|\lambda_0|z^2}{2\hbar} +\text{non-Gaussian terms}\right]\cr ~\stackrel{\text{MSD}}{=}&~ e^{-i\frac{\epsilon}{2}} \int_{-e^{i\frac{\pi}{2}}\infty}^{e^{i\frac{\pi}{2}}\infty} \! \frac{dz}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[\frac{|\lambda_0|z^2}{2\hbar} \right] \cr ~\stackrel{z=iy}{=}&~ie^{-i\frac{\epsilon}{2}} \int_{\mathbb{R}} \! \frac{dy}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[-\frac{|\lambda_0|y^2}{2\hbar} \right]\cr ~=~&\frac{ie^{-i\frac{\epsilon}{2}}}{\sqrt{|\lambda_0|}} ~\approx~\frac{i}{\sqrt{|\lambda_0|}}. \end{align}\tag{F}$$

Das Ergebnis ist, dass die MSD uns naiv anweist, entlang des Imaginären zu integrieren$c_0$-Achse ab$-i\infty$Zu$+i\infty$(im Gegensatz zur anderen Richtung).

Wir werden alle entfernen$i\epsilon$ist ab jetzt. Es wird nur in die Berechnung eingehen, um eine Vorzeichenkonvention für instabile Gaußsche Integrale a la Formel (F) zu bestimmen.

IV) Nächste Ref.-Nr. 1 betrachtet ein einseitiges Potential$V(x)$, vgl. Abb.1.

$\uparrow$Abb. 1. Ein einseitiges Potential$V(x)$mit einem falschen Vakuum an$x=0$und ein echtes Vakuum an$x=\infty$.

Wir setzen Dirichlet-Randbedingungen (BC)

$$x(t^E_i)~=~ x_i~=~0~=~x_f~=~ x(t^E_f).\tag{G}$$

Zuerst sollten wir die klassischen Pfade mit Dirichlet BC Gl. (G). Es gibt den trivialen Weg$x\equiv 0$, der Sprung$\bar{x}$, und verschiedene (möglicherweise wiederholte) Kombinationen davon, vgl. Abb. 2.

$\uparrow$Abb. 2. Der Graph in Abb. 1 wurde auf den Kopf gestellt. Um das Prinzip der stationären Wirkung anzuwenden, sollte die Euklidische Lagrange-Funktion (D) die Form „kinetische Energie minus potenzielle Energie“ haben. Daher wird das scheinbare Potential negativ $V$. Die Bounce-Lösung$t^E\mapsto \bar{x}(t^E)$beginnt und endet um$x=0$und reflektiert an$x=\sigma$.

Ref. 1 interessiert der Beitrag von genau einem Bounce. Die Bounce-Lösung$\bar{x}$wird durch die Tatsache bestimmt, dass die 'kinetische Energie plus potentielle Energie' auf der Schale erhalten bleibt (und gleich Null ist, da sie zu Beginn des Aufpralls so war):

$$\begin{align} \frac{1}{2} \dot{\bar{x}}^2-V(\bar{x})~=~&0\cr ~\Updownarrow~&\cr \dot{\bar{x}}~=~&\pm \sqrt{2V(\bar{x})} . \end{align}\tag{H}$$

Davon gehen wir implizit aus$\int_0^{\sigma}\frac{dx}{\sqrt{2V(x)}} \leq \frac{\Delta t^E}{2}$, damit der Bounce im zugeteilten Zeitraum realisiert werden kann$\Delta t^E:=t_f^E-t_i^E$. Die Aktion des Aufpralls wird$^2$

$$\begin{align} S^E[\bar{x}]~\stackrel{(D)}{=}~&\int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E \left[ \frac{1}{2}\dot{\bar{x}}^2 +V(\bar{x})\right]\cr ~\stackrel{(H)}{=}~&\int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E ~\dot{\bar{x}}^2\tag{2.13a} \cr ~\stackrel{(H)}{=}~& 2\int_0^{\sigma}\! dx \sqrt{2V(x)}. \tag{2.13b}\end{align}$$

Die Euler-Lagrange (EL)-Gl. liest

$$\frac{\delta S^E[\bar{x}]}{\delta \bar{x}}~=~-\ddot{\bar{x}}+V^{\prime}(\bar{x})~=~0. \tag{2.8}$$

Gl. (H) ist ein erstes Integral zu Gl. (2.8).

V) Als nächstes erweitern wir die Pfadintegrationsvariable$x$um die$\bar{x}$Bounce-Lösung

$$\begin{align} x(t^E)~=~&\bar{x}(t^E) + y(t^E), \cr y(t^E)~:=~&\sum_{n=0}^{\infty}c_n x_n(t^E), \end{align}\tag{2.5}$$

Wo$x_n$sind reelle orthonormale Eigenfunktionen

$$\begin{align} \int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E ~x_n(t^E) x_m(t^E)~=~&\delta_{nm}, \cr x_n(t^E_i)~=~0~=~&x_n(t^E_f), \end{align}\tag{2.6}$$

Und$\lambda_n$sind Eigenwerte$Ax_n=\lambda_nx_n$des hessischen Betreibers

$$A~:=~-\left(\frac{d}{dt^E}\right)^2 + V^{\prime\prime}(\bar{x}). \tag{I}$$

Das integrale Maß ist definiert als

$$\tag{2.7} [dx]~=~\prod_{n=0}^{\infty} \frac{dc_n}{\sqrt{2\pi\hbar}}.$$

Das Punktspektrum besteht aus einem negativen Eigenwert$\lambda_0<0$; ein Null-Eigenwert$\lambda_1=0$; und positive Eigenwerte$0<\lambda_2<\lambda_3< \ldots$. Differenzierung der EL Gl. (2.8) bzgl.$t^E$ergibt, dass die Geschwindigkeit$\dot{\bar{x}}$ist ein Null-Modus:$A\dot{\bar{x}}=0$. Die normalisierten Nullmodus-Lesungen

$$x_1~=~\frac{\dot{\bar{x}}}{\sqrt{S^E[\bar{x}]}}, \tag{2.18}$$

vgl. Gl. (2.6) & (2.13a). Der Nullmodus spiegelt die Zeittranslationssymmetrie des Aufpralls wider

$$\begin{align} \bar{x}(t^E)+ \dot{\bar{x}}(t^E)~dt^E_0~=~&\bar{x}(t^E+dt^E_0)\cr ~=~&\bar{x}(t^E)+ x_1(t^E)~dc_1.\end{align}\tag{J}$$

Mit anderen Worten, wir können den Nullmodus identifizieren$c_1$mit dem zentralen Augenblick$t^E_0$des Aufpralls

$$\begin{align} dc_1~\stackrel{(2.18)+(J)}{=}&~\sqrt{S^E[\bar{x}]}~dt^E_0, \cr \bar{x}(t^E_0)~=~~&\sigma,\end{align}\tag{K}$$

bis auf eine affine Transformation. Der integrierte Nullmodusbeitrag ist daher gegeben durch

$$\sqrt{2\pi\hbar} z_1 ~:=~ \int \! dc_1 ~\stackrel{(K)}{=}~ \sqrt{S^E[\bar{x}]}~\Delta t^E. \tag{L}$$

In Gl. (L) Wir haben der Einfachheit halber angenommen, dass die Periode des Abprallens viel kleiner ist als$\Delta t^E$. Die Geschwindigkeit (2.18) hat einen Nullpunkt bei$x=\sigma$wegen Energieerhaltung (H). Dies zeigt, dass es eine knotenlose Eigenfunktion geben muss$x_0$mit negativem Eigenwert$\lambda_0<0$. Das dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen$x_0>0$ist positiv.

VI) Die quadratische Aktion lautet

$$\begin{align} S^E_2[x]~=~&S^E[\bar{x}] +\frac{1}{2}\int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E ~y(t^E) Ay(t^E) \cr ~=~& S^E[\bar{x}] +\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\lambda_n c_n^2.\end{align}\tag{M}$$

Wenn wir die MSD naiv auf die quadratische Wirkung (M) anwenden, würden wir eine rein imaginäre Zahl erhalten

$$(Z^E)_{\text{one bounce}}^{\text{MSD}} ~\approx~\frac{iNz_1e^{-\frac{S^E[\bar{x}]}{\hbar}}}{\sqrt{|\det^{\prime}A|}},\tag{N}$$

das ist das Doppelte der Abschätzung (2.23). Hier haben wir die Vorzeichenkonvention aus Gl. (F). Die Schätzung (N) ist aus verschiedenen Gründen unrealistisch. Für den Anfang sieht es falsch aus, dass (N) keinen echten Teil hat. Man würde naiverweise erwarten, dass sich der Imaginärteil allmählich entwickeln könnte, nicht nur als An-Aus-Effekt.

VII) Diskussion. Ref. 1 betont, dass die euklidische Zustandssumme$Z^E(g)$kann nur durch analytische Fortsetzung einiger Parameter definiert werden$g\in\mathbb{R}$(was Ref. 1. aufruft$z$) zur komplexen Ebene. Da die euklidische Zustandssumme$Z^E(g)$offensichtlich real ist, erfüllt die analytische Fortsetzung also das Schwarz-Reflexionsprinzip

$$\begin{align} 2i{\rm Im} Z^E(g)~=~&Z^E(g+i0^+)-Z^E(g-i0^+), \cr g~\in~&\mathbb{R}.\end{align}\tag{O}$$

Beispielsweise können wir eine 1-Parameter-Familie schiefer Potentiale definieren$^3$

$$V_g(x)~=~V(x)\{g\theta(x)+\theta(-x)\}.\tag{P}$$

Die genaue Form von Gl. (P) ist nicht wichtig. Für$g<0$($g>0$) gibt (gibt es keinen) einen Instanton- bzw. Zero-Modus. Das ursprüngliche Potenzial$V(x)=V_{g=1}(x)$entspricht$g=1$. Lassen Sie uns variieren$g$unendlich nah$g=1\in\mathbb{C}$mit fester Funktionsbasis$(x_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$für das Wegintegral. Wir erwarten die$(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$Integrationskonturen (deren steilste Richtung entlang der Reallinie verläuft$c_n$-Achsen) bis auf die kontinuierlich zu variieren$c_0$Integration (deren steilste Richtung entlang des Imaginären verläuft$c_0$-Achse). Seit$x_0>0$positiv ist, erwarten wir das$c_0$Integrationskontur entlang der negativen reellen Halbachse sehr wenig zu variieren, während die positive reelle Halbachse variiert, um dem Effekt eines Komplexes entgegenzuwirken$g$, vgl. Abb. 3-4 und Lit. 2-3.

                    ^
                    |
                    |
                    |
  --------->--------|

$\uparrow$Abb. 3. Für${\rm Im}(g)<0$die volle Integrationskontur für die$c_0$-Variable in der Anlage$c_0$-Ebene ist ungefähr die negative reelle Zahl$c_0$-Achse kombiniert mit dem positiven Imaginären$c_0$-Achse.

  --------->--------|
                    |
                    |
                    |
                    v

$\uparrow$Abb. 4. Für${\rm Im}(g)>0$die volle Integrationskontur für die$c_0$-Variable in der Anlage$c_0$-Ebene ist ungefähr die negative reelle Zahl$c_0$-Achse kombiniert mit dem negativen Imaginären$c_0$-Achse.

Beachten Sie, dass der Unterschied zwischen der$c_0$-Konturen in Abb. 3-4 ist die imaginäre Achse, also die steilste Richtung, vgl. Gl. (F). Wir schließen daraus, dass die MSD-Schätzung (N) stattdessen als identifiziert werden sollte

$${\rm Im} (Z^E)_{\text{one bounce}}^{\text{MSD}} ~\approx~ - \frac{Nz_1e^{-\frac{S^E[\bar{x}]}{\hbar}}}{2\sqrt{|\det^{\prime}A|}}.\tag{Q}$$

Dies erklärt die Hälfte in der Hauptformel (2.23), obwohl wir das entgegengesetzte Vorzeichen erhalten.

Verweise:

1. CG Callan, Jr. & S. Coleman, Schicksal des falschen Vakuums. II. Erste Quantenkorrekturen, Phys. Rev. D 16 (1977) 1762 .

2. J. Zinn-Justin, QFT & Critical Phenomena, 2002; Kapitel 39.

3. M. Marino, Instantons und groß$N$; Kapitel 2.

--

$^1$Gleichungen, die mit Zahlen (im Gegensatz zu Buchstaben) gekennzeichnet sind, stammen aus Lit. 1.

$^2$Es fehlt ein Faktor 2 in Gl. (2.13b) von Lit. 1.

$^3$Es ist verlockend, stattdessen eine 1-Parameter-Familie einseitiger Potentiale zu definieren

$$V_g(x)~=~V(x)\{g\theta(x-\sigma)+\theta(\sigma-x)\}.\tag{R}$$

Für$g<0$dies ist ein von unten begrenztes, nicht negatives Doppelmuldenpotential. Der Instanton-One-Bounce$\bar{x}$und der Nullmodus$x_1$sind unabhängig von$g$. Wieder seit dem Zero-Mode-Modus$x_1$noch einen Knoten hat, muss es noch einen negativen Modus geben, dh es ist noch ein instabiler Zerfall. Mit anderen Worten, die analytische Fortsetzung (R) hat nichts erreicht!