Wie ist „analytische Fortsetzung“ im Zusammenhang mit Instantonen zu verstehen?

Question

Wie ist „analytische Fortsetzung“ im Zusammenhang mit Instantonen zu verstehen?

Physik
Instantonen
Analytizität
Dochtdrehung
Quantentunneln
Quantenfeldtheorie

Wein Eld

Da dies eine subtile und interessante Frage für mich ist. Ich werde eine ziemlich detaillierte Beschreibung geben. Ich hoffe, Sie können es weiter lesen und finden es auch interessant.

Der Einfachheit halber gehe ich im Folgenden nur auf das eindimensionale Instanton, also die Quantenmechanik, ein. Die Frage gilt jedoch für allgemeinere Instantons wie BPST-Instanton in $SU(2)$ Yang-Mills-Theorie. Beginnen wir mit einem einfachen quantenmechanischen Problem $S_M=\int dt\, L_M=\int dt\,[\frac{1}{2}(\frac{dx}{dt})^2-V(x)]$ wobei das Potenzial der Doppelbrunnen ist, wie folgt dargestellt:

Bezeichnen wir den Zustand, wenn sich das Teilchen am linken und rechten Minima befindet, als $|L\rangle$ und $|R\rangle$ , bzw. Betrachten wir die euklidische Übergangsamplitude:

\begin{matrix} (1) & lim_{τ \to \infty} ⟨ R | e^{- H τ} | L ⟩ . \end{matrix}

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle .\tag{1}$ Im Pfadintegralformalismus ist es

\begin{matrix} (2) & lim_{τ \to \infty} ⟨ R | e^{- H τ} | L ⟩ = \int D x e^{- \int d τ [\frac{1}{2} (\frac{d x}{d τ})^{2} + v (x)]}, \end{matrix}

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle=\int\mathcal{D}x\,e^{-\int d\tau[\frac{1}{2}(\frac{dx}{d\tau})^2+V(x)]},\tag{2}$ wobei alle Pfade auf das linke Minimum zur Anfangszeit und das rechte Minimum zur endgültigen euklidischen Zeit festgelegt sind

τ

$\tau$ . Bevor wir darüber sprechen, wie man es auswertet. Vergleichen wir es zunächst mit dem Minkowski-Pfadintegral

\begin{matrix} (3) & lim_{t \to \infty} ⟨ R | e^{- ich H t} | L ⟩ = \int D x e^{ich \int d t [\frac{1}{2} (\frac{d x}{d t})^{2} - v (x)]} . \end{matrix}

$\lim_{t\rightarrow\infty}\langle R|e^{-iHt}|L\rangle=\int\mathcal{D}x\,e^{i\int d t[\frac{1}{2}(\frac{dx}{d t})^2-V(x)]}.\tag{3}$ Gleichung (2) kann durch eine formale Substitution erhalten werden

t = - i τ

$t=-i\tau$ in Gleichung (3). Beachten Sie das aus der euklidischen Aktion

\begin{matrix} (4) & S_{E} = \int d τ [\frac{1}{2} (\frac{d x}{d τ})^{2} + v (x)] \end{matrix}

$S_E=\int d\tau[\frac{1}{2}(\frac{dx}{d\tau})^2+V(x)]\tag{4}$ Jetzt in Aktion

S_{E}

$S_E$ , können wir sehen, dass das Potenzial ist

- V (x)

$-V(x)$ , dh es steht im Vergleich zum Original auf dem Kopf

S_{M}

$S_M$ .

Das Wegintegral (2) kann nach der Methode des steilsten Abstiegs ausgewertet werden: Erweiterung um die Minima der euklidischen Wirkung $S_E$ . Eines der Minimum der euklidischen Aktion ergibt eine Lösung in der euklidischen Raumzeit (da wir die quantenmechanische Situation diskutieren, ist die euklidische Raumzeit eindimensional):

\begin{matrix} (5) & \frac{δ S_{E}}{δ x} = 0, \end{matrix}

$\frac{\delta S_E}{\delta x}=0,\tag{5}$ die die bekannte Knicklösung hat:

\begin{matrix} (6) & \bar{x} (τ) = Tanh (τ - τ_{0}), \end{matrix}

$\bar{x}(\tau)=\tanh(\tau-\tau_0),\tag{6}$ wo

τ_{0}

$\tau_0$ ist eine willkürliche Konstante, die aus dem stammt

τ -

$\tau-$ Translationssymmetrie von

S_{E}

$S_E$ . In das Pfadintegral müssen wir integrieren

τ_{0}

$\tau_0$ über alle übersetzten Ausdruckswege zu summieren (6). Nehmen wir der Einfachheit halber

τ_{0} = 0

$\tau_0=0$ in das Profil der Lösung zu schauen. Es wird wie folgt angezeigt:

.

Beachten Sie, dass es keine klassische Lösung in der Minkowski-Raumzeit gibt

\begin{matrix} (7) & \frac{δ S_{M}}{δ x} = 0 \end{matrix}

$\frac{\delta S_M}{\delta x}=0 \tag{7}$ mit den gleichen Anfangs- und Endbedingungen, da jeder Weg gegen das Energieerhaltungsgesetz verstößt. Jetzt können wir tatsächlich weiter nach der Methode des steilsten Abstiegs vorgehen und erhalten bei der führenden Ordnung:

\begin{matrix} (8) & lim_{τ \to \infty} ⟨ R | e^{- H τ} | L ⟩ \sim e^{- S_{E} [\bar{x} (τ)]} . \end{matrix}

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle\sim e^{-S_E[\bar{x}(\tau)]}.\tag{8}$

Bis hierhin ist alles in Ordnung. Aber irgendwie interpretieren die Leute das obige Ergebnis als die Tunnelrate vom linken Minimum zum rechten Minimum. Ich weiß, dass es in der ganzen Geschichte noch mehr Dinge gibt. Beispielsweise kann man das Ergebnis Gl.(8) als die exponentielle Unterdrückung erkennen, die man bei einer WKB-Rechnung zur Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung erhält und damit die Interpretation rechtfertigen.

Aber was mir häufiger begegnet, ist der Grund, warum wir Gleichung (8) als Tunnelrate interpretieren, weil wir sie zurück zum Minkowski-Ergebnis fortsetzen können. Vielleicht ist die Logik die folgende (Anmerkung: Ich leite diese Logik aus Sätzen ab und sie bedeuten möglicherweise etwas Tieferes. Dies möchte ich in diesem Beitrag diskutieren). Da die Instanton-Aktion gelegentlich unabhängig von ist $\tau$ , wenn wir weiter zurück gehen, formell ersetzen $\tau=it$ , haben wir immer noch eine solche exponentielle Unterdrückung.

Das Problem ist, dass wir, wie in der Antwort von Qmechanic erklärt, niemals am stationären Punkt anhalten können, der nur ein Teil des vollständigen euklidischen Pfadintegrals ist, die Berechnung durchführen und sagen, schauen Sie, lassen Sie uns jetzt das Ergebnis zurück in den Minkowski fortsetzen Freizeit. Tatsächlich ändert sich der stationäre Punkt selbst gleichzeitig, wenn wir die Zeit drehen. Wenn wir zurück in die Minkowski-Raumzeit rotieren, haben wir überhaupt keinen stationären Punkt, wenn wir immer noch glauben, dass die Positionen reelle Zahlen sind.

Insbesondere im Kontext der Instantonen in der Eichtheorie (mit Wechselwirkungen mit Fermionen). Man kann die folgende Übergangsamplitude in einem Eichfeld-Instanton-Hintergrund berechnen

⟨ 0 | 0 ⟩_{1 - ich n s t}

$\langle 0|0\rangle_{1-inst}$ Aufgrund von Fermioinc-Nullmoden erhält man ein verschwindendes Ergebnis. Um ein nicht verschwindendes Ergebnis zu erhalten, müssen wir die t'Hooft-Operatoren like einfügen

{\bar{ψ}}_{R} ψ_{L}

$\bar\psi_R\psi_L$ , das ist

⟨ 0 | {\bar{ψ}}_{R} ψ_{L} | 0 ⟩ .

$\langle 0|\bar\psi_R\psi_L|0\rangle.$

An diesem Punkt, jetzt ist es wirklich sehr häufig, dass Leute sagen, dies stellt die chirale Verletzung in der realen Minkowski-Raumzeit durch analytische Fortsetzung dar. Aber wie? Wie können wir ein Ergebnis in der Nähe eines euklidischen stationären Punktes zurück in die Minkowski-Raumzeit fortsetzen? Wenn wir die Fortsetzung machen, sollten wir dann gleichzeitig den stationären Punkt selbst fortsetzen, dh das euklidische Instanton zur Minkowski-Raumzeit fortsetzen?

Abschließend meine Frage, wie genau ist das handgeschwenkte Wort „analytische Fortsetzung“ in diesen speziellen Fällen zu verstehen? Ich glaube, dies hat eine Antwort in der Picard-Lefschetz-Theorie.

( aktualisiert am 8. März 2021 ) Ich denke, die meisten meiner Verwirrungen wurden in einem kürzlich erschienenen Artikel arXiv:1905.04236 beantwortet

Das Folgende ist die ursprüngliche Frage, die jetzt von relativ geringer Relevanz ist.

Meine Frage bezieht sich auf die Tunnelinterpretation der Knicklösung und der euklidischen Übergangsamplitude. Die Leute sagen immer, dass eine Knicklösung beschreibt, dass ein Tunnelprozess vom linken Minimum in der fernen Vergangenheit bis zum rechten Minimum in der fernen Zukunft stattfindet. Dieses Bild ist für mich etwas vage. Die Fragen sind

(1) ist $\lim_{t\rightarrow\infty}\langle R|e^{-iHt}|L\rangle=\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle$ ? Nun, es scheint, dass dies normalerweise durch grobes Argument der Wick-Rotation zutrifft (oder ich habe mich geirrt). Aber selbst es ist wahr, es ist überhaupt nicht gerechtfertigt, es zu haben

lim_{τ \to \infty} ⟨ R | e^{- H τ} | L ⟩_{ich n s t} = l e a d ich n g Ö r d e r Ö f lim_{t \to \infty} ⟨ R | e^{- ich H t} | L ⟩

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle_{\rm inst}={\rm leading\ order\ of} \lim_{t\rightarrow\infty}\langle R|e^{-iHt}|L\rangle$

(2) Obwohl die Minkowski-Aktion keine klassische Lösung enthält. Es sollte Quantenpfade geben, die aufgrund der Unschärferelation den Energieerhaltungssatz brechen können. Was sind die (dominanten) Quantenpfade im Tunnelprozess? Unsere erste Vermutung könnte sein $\bar{x}(t)=\tanh(it)$ mit formeller Substitution $\tau=it$ zurück zur Knicklösung $\bar{x}(\tau)=\tanh(\tau)$ . Aber $\tanh(it)$ ist imaginär, also unkörperlich wie die Position $x$ . Gibt es eine Interpretation der Knicklösung in der Minkowski-Raumzeit?

rauben

Ein Ansatz, den ich nicht verstehe, aber Sie vielleicht: inspirehep.net/record/1453973/files/Rug_Tehseen.pdf

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/80889/2451 und Links darin.

Tyberius

@WeinEld Sie sollten keine neue Frage unter einem bestehenden Thread posten, der bereits eine Antwort hat. Hätten Sie nicht bereits ein Kopfgeld gepostet, würde ich sagen, dass Sie eine neue Frage erstellen und auf diese verlinken, um den Kontext zu erhalten.

Wein Eld

@Tyberius Danke für deinen Vorschlag. Aber ich denke, es ist im Grunde meine ursprüngliche Verwirrung und ich habe es nur aufpoliert.

Antworten (2)

Wie ist „analytische Fortsetzung“ im Zusammenhang mit Instantonen zu verstehen?

Ein Ansatz, den ich nicht verstehe, aber Sie vielleicht: inspirehep.net/record/1453973/files/Rug_Tehseen.pdf
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/80889/2451 und Links darin.
@WeinEld Sie sollten keine neue Frage unter einem bestehenden Thread posten, der bereits eine Antwort hat. Hätten Sie nicht bereits ein Kopfgeld gepostet, würde ich sagen, dass Sie eine neue Frage erstellen und auf diese verlinken, um den Kontext zu erhalten.
@Tyberius Danke für deinen Vorschlag. Aber ich denke, es ist im Grunde meine ursprüngliche Verwirrung und ich habe es nur aufpoliert.

QMechaniker · Answer 1

TL; DR: Die Titelfrage von OP (v7) zu Instantonen in der Minkowski-Signatur ist physikalisch bedeutungslos. Es ist ein irrelevanter mathematischer Umweg, der Amok läuft. Die Verbindung zur Physik/Natur wird über eine Wick-Rotation des vollständigen euklidischen Pfadintegrals hergestellt, nicht über Teile davon. Innerhalb des euklidischen Pfadintegrals ist es möglich, konsistent über euklidische Instantons zu expandieren, aber es ist bedeutungslos, das Instantonbild zur Minkowski-Signatur zu drehen.

Genauer gesagt sei ein Doppelmuldenpotential gegeben

\begin{matrix} (EIN) & v (x) = \frac{1}{2} (x^{2} - a^{2})^{2} . \end{matrix}

$V(x)~=~\frac{1}{2}(x^2-a^2)^2. \tag{A}$

Die Minkowskische und die euklidische Formulierung sind über eine Wick-Rotation verbunden

\begin{matrix} (B) & t^{E} e^{ich ϵ} = e^{ich \frac{π}{2}} t^{M} e^{- ich ϵ} . \end{matrix}

$t^E e^{i\epsilon}~=~e^{i\frac{\pi}{2}} t^M e^{-i\epsilon}.\tag{B}$

Wir haben Feynmans aufgenommen $i\epsilon$ -Vorschrift , um die Konvergenz zu unterstützen und Zweigschnitte und Singularitäten zu vermeiden. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

I) Einerseits ist die euklidische Zustandssumme/Wegintegral

\begin{matrix} (C) & \begin{aligned} Z^{E} = & Z (Δ t^{E} e^{ich ϵ}) \\ = & ⟨ x_{f} | \exp [- \frac{H Δ t^{E} e^{ich ϵ}}{ℏ}] | x_{ich} ⟩ \\ = & N \int [d x] \exp [- \frac{S^{E} [x]}{ℏ}], \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} Z^E~=~&Z(\Delta t^E e^{i\epsilon})\cr ~=~& \langle x_f | \exp\left[-\frac{H \Delta t^E e^{i\epsilon}}{\hbar}\right] | x_i \rangle \cr ~=~&N \int [dx] \exp\left[-\frac{S^E[x]}{\hbar} \right],\end{align}\tag{C}$

mit euklidischer Wirkung

\begin{matrix} (D) & \begin{aligned} S^{E} [x] = & \int_{t_{ich}^{E}}^{t_{f}^{E}} d t^{E} [\frac{e^{- ich ϵ}}{2} {(\frac{d x}{d t^{E}})}^{2} + e^{ich ϵ} v (x)] \\ = & \int_{t_{ich}^{E}}^{t_{f}^{E}} d t^{E} \frac{e^{- ich ϵ}}{2} {(\frac{d x}{d t^{E}} \mp e^{ich ϵ} \sqrt{2 v (x)})}^{2} \\ \pm \int_{x_{ich}}^{x_{f}} d x \sqrt{2 v (x)} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S^E[x] ~=~&\int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E \left[ \frac{e^{-i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^E}\right)^2+e^{i\epsilon}V(x)\right]\cr ~=~& \int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E \frac{e^{-i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^E}\mp e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}\right)^2 \cr &\pm \int_{x_i}^{x_f} \! dx ~\sqrt{2V(x)}.\end{align}\tag{D}$

und echte reguläre Knick-/Anti-Knick-Lösung $^1$

\begin{matrix} (E) & \begin{aligned} \frac{d x}{d t^{E}} \mp e^{ich ϵ} \sqrt{2 v (x)} \approx & 0 \\ ⇕ \\ x (t^{E}) \approx & \pm a Tanh (e^{ich ϵ} Δ t^{E}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{dx}{dt^E}\mp e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}~\approx~&0 \cr ~\Updownarrow~ & \cr x(t^E) ~\approx~&\pm a\tanh(e^{i\epsilon}\Delta t^E). \end{align}\tag{E}$

Beachten Sie, dass a priori Raum $x$ und Zeit $t^E$ sind reelle Koordinaten im Wegintegral (C). Um das euklidische Pfadintegral (C) über die Methode des steilsten Abstiegs zu berechnen , brauchen wir weder Raum noch Zeit zu komplexisieren. Wir integrieren bereits in Richtung steilster Abstieg!

II) Andererseits ist die entsprechende Minkowskische Zustandssumme/Wegintegral

\begin{matrix} (F) & \begin{aligned} Z^{M} = & Z (ich Δ t^{M} e^{- ich ϵ}) \\ = & ⟨ x_{f} | \exp [- \frac{ich H Δ t^{M} e^{- ich ϵ}}{ℏ}] | x_{ich} ⟩ \\ = & N \int [d x] \exp [\frac{ich S^{M} [x]}{ℏ}], \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} Z^M~=~&Z(i \Delta t^M e^{-i\epsilon})\cr ~=~& \langle x_f | \exp\left[-\frac{iH \Delta t^M e^{-i\epsilon}}{\hbar} \right] | x_i \rangle\cr ~=~& N \int [dx] \exp\left[\frac{iS^M[x]}{\hbar} \right],\end{align}\tag{F}$

mit Minkowski-Aktion

\begin{matrix} (G) & \begin{aligned} S^{M} [x] = & \int_{t_{ich}^{M}}^{t_{f}^{M}} d t^{M} [\frac{e^{ich ϵ}}{2} {(\frac{d x}{d t^{M}})}^{2} - e^{- ich ϵ} v (x)] \\ = & \int_{t_{ich}^{M}}^{t_{f}^{M}} d t^{M} \frac{e^{- ich ϵ}}{2} {(\frac{d x}{d t^{M}} \mp ich e^{ich ϵ} \sqrt{2 v (x)})}^{2} \\ \pm ich \int_{x_{ich}}^{x_{f}} d x \sqrt{2 v (x)}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S^M[x]~=~&\int_{t^M_i}^{t^M_f} \! dt^M \left[ \frac{e^{i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^M}\right)^2-e^{-i\epsilon}V(x)\right]\cr ~=~& \int_{t^M_i}^{t^M_f} \! dt^M \frac{e^{-i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^M}\mp i e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}\right)^2 \cr &\pm i \int_{x_i}^{x_f} \! dx ~\sqrt{2V(x)},\end{align}\tag{G}$

und imaginäre singuläre Knick/Anti-Knick-Lösung

\begin{matrix} (H) & \begin{aligned} \frac{d x}{d t^{M}} \mp ich e^{ich ϵ} \sqrt{2 v (x)} \approx & 0 \\ ⇕ \\ x (t^{M}) \approx & \pm ich a bräunen (e^{- ich ϵ} Δ t^{M}) \\ = & \pm a Tanh (ich e^{- ich ϵ} Δ t^{M}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{dx}{dt^M}\mp i e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}~\approx~&0 \cr ~\Updownarrow~ & \cr x(t^M)~\approx~&\pm i a\tan(e^{-i\epsilon}\Delta t^M)\cr ~=~&\pm a\tanh(i e^{-i\epsilon}\Delta t^M). \end{align}\tag{H}$

Es ist beruhigend, dass die $i\epsilon$ Die Regularisierung stellt sicher, dass das Teilchen an den potentiellen Minima beginnt und endet:

\begin{matrix} (ICH) & lim_{Δ t^{M} \to \pm^{'} \infty} x (t^{M}) = (\pm a) (\pm^{'} 1) . \end{matrix}

$\lim_{\Delta t^M\to \pm^{\prime}\infty} x(t^M)~=~(\pm a) (\pm^{\prime} 1). \tag{I}$

Leider scheint das so ziemlich das einzig Schöne an der Lösung zu sein (H). Beachten Sie, dass a priori Raum $x$ und Zeit $t^M$ sind reelle Koordinaten im Wegintegral (F). Wir können die Methode des steilsten Abstiegs nicht direkt anwenden, um das Minkowski-Pfadintegral zu berechnen. Wir müssen die Integrationskontur deformieren und/oder Zeit und Raum auf konsistente Weise komplexisieren. Dies wird durch die Picard-Lefschetz-Theorie und den Lefschetz-Fingerhut geregelt. Insbesondere die Rolle der imaginären singulären Kink/Anti-Knick-Lösung (H) verliert an Bedeutung, weil wir sie nicht sinnvoll perturbativ erweitern können.

--

$^1$ Die explizite (hyperbolische) Tangentenlösung (E) ist eine zu stark vereinfachte Spielzeuglösung. Es verschleiert die Abhängigkeit der endlichen Anfangs- (und End-) Zeit $t^E_i$ (und $t^E_f$ ), Moduli-Parameter und Multi-Instantonen. Für Details verweisen wir auf die Literatur.

Vielen Dank für Ihre Antwort und es tut mir sehr leid für meine sehr langsame Reaktion, um zu dem Bild zu kommen, das Sie hier beschrieben haben. Ich stimme vollkommen zu, dass es bedeutungslos ist (oder zumindest nach meinem derzeitigen Verständnis), Teile oder Teile des euklidischen Pfades integral zurück zur Minkowski-Raumzeit fortzusetzen. Aber es scheint, dass die Menschen in vielen Fällen die Übergangsamplituden in einem Instanton-Hintergrund zu den Minkowski-Ergebnissen wirklich fortsetzen.
Fahren Sie fort ... Ein besonderes Ergebnis ist die Verletzung der Baryonen- und Leptonenzahl, die scheinbar erhalten wird, indem die euklidische Übergangsamplitude in einem Instantionshintergrund (dem BPST-Instanton) zur Minkowski-Raumzeit fortgesetzt wird. Da ich Ihre Meinung akzeptiert habe, wie kann ich klar sehen, dass es legal ist, Ergebnisse, die um einen euklidischen stationären Punkt (daher abgeschnitten und nur ein bisschen des vollständigen euklidischen Pfadintegrals) erhalten wurden, bis zur Minkowski-Raumzeit fortzusetzen?

David Bar Mosche · Answer 2

In den letzten Jahren gibt es ein erneuertes Verständnis der Rolle der analytischen Fortsetzung in Pfadintegralen, siehe die folgende Arbeit von Witten. Die Konsequenzen dieses Verständnisses sind wirklich spannend. Sie erlauben zum Beispiel, die Chern-Simons-Theorie für nicht ganzzahlige Ebenen (wiederum Witten ) zu verstehen.

Die analytischen Fortsetzungstechniken basieren auf der Picard-Lefschetz-Theorie, die im Wesentlichen besagt, dass ein Sattelpunktintegral mit einem konvergenten Integral über einen Zyklus in einem komplexen Raum assoziiert werden kann. Die konvergenten Integrationszyklen sind unter dem Namen Lefshetz-Fingerhüte bekannt.

Die Integration über komplexe Trajektorien wurde bereits bei kohärenten Zustandspfadintegralen angetroffen; siehe zum Beispiel die folgende Arbeit von Stone, Park und Garg . Diese Integrale werden im Phasenraum formuliert, der als Komplexifizierung des Konfigurationsraums betrachtet werden kann.

Was den Fall des Doppelbrunnens betrifft: Bitte sehen Sie sich die folgende Arbeit von Cherman und Ünsal an, in der sie eine Familie analytischer Fortsetzungen der Zeit betrachten:

t = e^{ich a} τ 0 < a \leq \frac{π}{2}

$t = e^{i\alpha} \tau \quad0 \lt \alpha \le \frac{\pi}{2}$ (Das euklidische Pfadintegral entspricht dem Spezialfall von

α = \frac{π}{2}

$\alpha = \frac{\pi}{2}$ ). Für jeden Wert von

α

$\alpha$ sie finden eine komplexe Instanton-Lösung, deren entsprechende Sattelpunktwirkung gleich dem korrekten Wert ist. Das einzige Problem ist die Grenze zum Minkowski-Wert

α = 0

$\alpha = 0$ ist singulär.

Eine ausführlichere Erläuterung der Picard-Lefschetz-Theorie und weitere Beispiele finden Sie in der folgenden Dissertation von: Yuya Tanizaki

Wie ist „analytische Fortsetzung“ im Zusammenhang mit Instantonen zu verstehen?

Wein Eld

Das Folgende ist die ursprüngliche Frage, die jetzt von relativ geringer Relevanz ist.

rauben

QMechaniker

Tyberius

Wein Eld

Antworten (2)

QMechaniker

Wein Eld

Wein Eld

David Bar Mosche

Wie kann ich das Tunnelproblem durch das euklidische Pfadintegral verstehen, bei dem die quadratische Fluktuation einen negativen Eigenwert hat?

Analytische Fortsetzung der imaginären Zeit Grüne Funktion im Zeitbereich

Vakuumstabilität

Klassische Aktion im Tunnelbauproblem finden

Verwenden der Wick-Rotation zur Berechnung der Erzeugungsfunktion im Minkowski-Raum

Dochtrotationen, Konvergenz und Feynman-Propagatoren?

Schwache Gravitationsgrenze der (Einstein-Hilbert + Materie) Wirkung

Wie verursachen Instantonen einen Vakuumzerfall?

Schroeders Minkowski-Raum-Integral – Bedenken hinsichtlich Dochtrotationen

Die Bedeutung der imaginären Zeit