Wie verursachen Instantonen einen Vakuumzerfall?

Betrachten wir die Instantonen einer gewöhnlichen reinen Yang-Mills-Theorie für Eichgruppen$G$in vier euklidischen Dimensionen:

Ein Instanton ist ein lokales Minimum der Aktion

$$S_{YM}[A] = \int \mathrm{tr}(F \wedge \star F)$$

das heißt, auf$\mathbb{R}^4$, genau gegeben durch die (anti-)selbst-dualen Lösungen$F = \pm \star F$. Für (anti-)selbst-duale Lösungen,$\mathrm{tr}(F \wedge \star F) = \mathrm{tr}(F \wedge F)$. Letzteres ist ein topologischer Begriff, der als zweite Chern-Klasse bekannt ist, und sein Integral ist diskret:

$$\int \mathrm{tr}(F \wedge F) = 8\pi^2 k$$

mit Ganzzahl$k \in \mathbb{Z}$(Frag nicht nach dem$\pi$). Für gegeben$k$, spricht man auch von dem entsprechenden Krümmungs-/Eichfeld als der$k$-sofort . Nun, wie hängt das mit den Dingen zusammen, nach denen Sie gefragt haben?

Instantonen als vacua

Da das Instanton ein lokales Minimum der Wirkung liefert, ist es ein natürlicher Ausgangspunkt für die Störungstheorie, wo es dann natürlich das Vakuum darstellt. Wir haben seitdem unendlich viele Vacuua zur Auswahl$k$ist willkürlich.

Instantons und die Drei-Sphäre

(Die Motivation hier ist, dass, damit das Vakuum endliche Energie hat,$F = 0$im Unendlichen, also suchen wir eigentlich eine Lösung für die Feldgleichungen auf$\mathbb{R}^4 \cup \{\infty\} = S^4$so dass$F(\infty) = 0$)

Nehmen Sie zwei lokale Instanton-Lösungen$A_1,A_2$(für dieselbe Chern-Klasse$k$) auf einigen offenen Festplatten$D_1, D_2$´. Kleben Sie sie nun durch eine Spurtransformation zusammen$t : D_k \cap D_{k'} \rightarrow G$gem

$$A_2 = tA_1t^{-1} + t\mathrm{d}t^{-1}$$

(Wir definieren im Wesentlichen das Hauptbündel über$S^4$hier) und beobachte das$\mathrm{tr}(F_i \wedge F_i) = \mathrm{d}\omega_i$mit$\omega_i$die Chern-Simons-Form

$$\omega_i := \mathrm{tr}(F_i \wedge A_i - \frac{1}{3} A_i \wedge A_i \wedge A_i)$$

Nehmen Sie die beiden Scheiben als die Halbkugeln von an$S^4$, nur am Äquator überlappend. Wenn wir nun die Chern-Klasse erneut berechnen, finden wir:

$$8\pi^2 k = \int_{D_1} \mathrm{d}\omega_1 + \int_{D_2} \mathrm{d}\omega_2 = \int_{\partial D_1} \omega_1 + \int_{\partial D_2} \omega_2 = \int_{S^3} \omega_1 - \int_{S^3} \omega_2$$

aufgrund des Satzes von Stokes und unterschiedlicher Ausrichtung der Halbkugelgrenze zueinander. Wenn wir die RHs weiter untersuchen, finden wir das

$$k = - \frac{1}{24\pi^2} \int_{S^3} \mathrm{tr}(t\mathrm{d}t^{-1} \wedge t\mathrm{d}t^{-1} \wedge t\mathrm{d}t^{-1})$$

also die$k$wird vollständig durch die gewählte Eichtransformation bestimmt! Wie alle$k$-vacua haben in der Handlung den gleichen Wert, sie unterscheiden sich nicht wirklich. Damit können wir bereits eine klassifizieren$k$-instanton durch Angabe der Eichtransformation$t : S^3 \rightarrow G$. Das sieht der Topologe sofort$t$ist also durch die Wahl eines Elements der dritten Homotopiegruppe gegeben$\pi_3(G)$, da sich homotopische Karten in dieselben Dinge integrieren. Für einfache Lie-Gruppen, die wir immer als unsere Eichgruppen wählen,$\pi_3(G) = \mathbb{Z}$, was ein schönes Ergebnis ist:$t$ist (bis auf Homotopie, was hier übrigens dasselbe ist wie bis auf globale Eichtransformation) bereits durch die definiert$k$-Nummer des Instantons.

Instantons und Tunneln

Jetzt können wir sehen, was Tunneln zwischen an$N$- und ein$N + k$-Vakuum könnte bedeuten:

Nimm ein$[-T,T] \times S^3$Raumzeit, also einen "Zylinder", und fülle ihn mit a$k$- Instanton-Feldkonfiguration$A_k$. Dies ist im Wesentlichen, nach üblichen topologischen Argumenten, ein Propagator zwischen dem Zustandsraum an der einen$S^3$zu den anderen$S^3$. Wenn Sie seine Zustandssumme berechnen, erhalten Sie eine Tunnelamplitude für die Menge der zugehörigen Zustände$\{-T\} \times S^3$sich in die Menge der Staaten verwandeln, zu denen sie gehören$\{T\} \times S^3$.

Berechnen Sie erneut die Chern-Klasse (oder Windungszahl oder Poyntragin-Invariante - dieses Ding hat mehr Namen als Katzen Leben haben):

$$8\pi^2 k = \int_{[-T,T] \times S^3} \mathrm{d}\omega = \int_{\{T\}\times S^3} \omega(-T) - \int_{\{-T\}\times S^3} \omega(T)$$

Wenn die$S^3$stellen vacua dar, die Feldstärke verschwindet dort und$A(-T),A(T)$sind reine Messgeräte, dh$A(\pm T) = t_\pm \mathrm{d} t_\pm^{-1}$, also haben wir die Chern-Simons-Form reduziert auf die Cartan-Maurer-Form$\omega(\pm T) = \frac{1}{3} t_\pm \mathrm{d} t_\pm^{-1} \wedge t_\pm \mathrm{d} t_\pm^{-1} \wedge t_\pm \mathrm{d} t_\pm^{-1}$. Aber jetzt werden die beiden Randintegrale für die Windungszahl einfach durch die Homotopieklasse von bestimmt$t_\pm : \{\pm T\} \times S^3 \rightarrow G$, nennen wir sie$k_\pm$. Deshalb haben wir einfach$k = k_+ - k_-$.

Wir haben hier also einen Raumzeit-Zylinder mit a$k$-Instanton-Konfiguration ist in der Tat der Propagator zwischen dem Zustandsraum, der einem räumlichen Schnitt von a zugeordnet ist$k-$-instanton und der Zustandsraum, der einem räumlichen Schnitt von a zugeordnet ist$k_+$-Instanton, wo$k_\pm$unterscheiden sich genau durch$k$, also würden Sie die Amplitude aus der Zustandssumme dieses Zylinders erhalten. Das tatsächlich zu berechnen, ist eine Arbeit für einen anderen Tag (und Frage) ;)