Mehrdeutigkeit in asymptotischen Störungsreihen und Instantonen

Die Mehrdeutigkeit, auf die sich die Leute normalerweise beziehen, ist auf das Fehlen der Borel-Summierbarkeit der Störungsreihe zurückzuführen.

Betrachten Sie eine Reihe der Form

$$A(g) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n g^n (n!)}$$

Wenn die Koeffizienten$b_n$sind in Ordnung$1$, ist diese Reihe offensichtlich divergent. Aber wir können seine Borel-Summe berechnen. Berechnen Sie zuerst die Borel-Transformation:

$$\mathcal{B}A(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{ (-1)^n t^n }$$

Wir können dann die Borel-Summe berechnen:

$$S(g) = \int_0^{\infty}{dt\, e^{-t} \mathcal{B}A(t g) }= \int_0^{\infty}{dt\, e^{-t} \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n (tg)^n }}$$

Wir ziehen nun die Summe aus dem Integral heraus, vorausgesetzt, die Reihe kann Term für Term integriert werden. Dies ist technisch gesehen falsch, da diese Reihe nicht gleichmäßig konvergiert ist – tatsächlich ist sie überhaupt nicht konvergent –, aber wir werden es trotzdem tun, mit der Maßgabe, dass wir die Antwort einfach als definieren was wir dadurch bekommen. Ich bin derjenige, der definiert, wie man diese Serie zusammenfasst, also habe ich das Recht.

$$S(g) = \int_0^{\infty}{dt\, \frac{e^{-t}}{1 + tg} }$$

Und solange$g > 0$, dieser Ausdruck ist offensichtlich endlich. Das Verfahren funktionierte und wir konnten eine gut definierte Nummer finden, die wir dieser Serie zuweisen konnten.

Sie werden jedoch feststellen, dass die Tatsache, dass die ursprüngliche Serie abwechselnd war, entscheidend für dieses Ergebnis war. Wiederholen wir es für eine nicht alternierende Reihe, die repräsentativer für die Arten von Reihen ist, die Sie finden könnten, wenn Sie Feynman-Diagramme in einer Feldtheorie addieren.

$$S(g) = \int_0^{\infty}{dt\, e^{-t} \sum_{n=1}^{\infty}{ (tg)^n }} = \int_0^{\infty}{dt\, \frac{e^{-t}}{1 - tg} } = \frac{1}{g} \int_0^{\infty}{dt\, \frac{e^{-\frac{t}{g}}}{1 - t} }$$

Das heißt z$g > 0$der Integrant hat einen Pol auf der positiven reellen Achse. Sie können immer noch das Integral machen, aber Sie müssen wählen, in welche Richtung Sie Ihren Ausflug in die komplexe Ebene machen müssen. Dies ist eine Mehrdeutigkeit.

Beachten Sie, dass der Rückstand an der$t = 1$Pol in der oben ist

$$Res(S,1) = -\frac{e^{-\frac{t}{g}}}{g}$$

Neugieriger und neugieriger! Der imaginäre Teil, den Sie in der Borel-Summe finden, ist nirgendwo in der ursprünglichen Reihe zu finden – da jeder Term reell ist – und außerdem ist er nicht störend$g$! Hmm ... das ist suggestiv.

Es stellt sich heraus, dass, wenn Sie Ihre Berechnungen sorgfältig genug durchführen und alle analytischen Fortsetzungen konsequent ausgeführt werden, die mit Instantonen verbundenen imaginären Beiträge die imaginären Beiträge aus dem Versagen der Störungsreihe aufheben, Borel-summierbar zu sein. Der vollständige Ausdruck für die Energieeigenwerte leidet daher unter keinen Mehrdeutigkeiten. Dieses Phänomen, bei dem hohe Ordnungen in der Störungstheorie (über das triviale Vakuum) irgendwie Informationen über niedrige Ordnungen um Instanton-Lösungen herum codieren, wurde als "Wiederaufleben" bezeichnet. Stichworte in der Literatur sind auch „Trans-Serie“, „Stokes Wedges“ und „Lefschetz Fingerhüte“.

Referenzen:

http://arxiv.org/abs/1210.2423

http://arxiv.org/abs/1210.3646

http://arxiv.org/abs/1411.3585

Vielleicht wäre dies als Kommentar besser, da es keine vollständige Antwort ist, aber dafür habe ich nicht genug Ansehen. Die wichtigste Mehrdeutigkeit besteht darin, dass es unendlich viele Funktionen gibt, die dieselbe asymptotische Entwicklung haben. Als Beispiel, wenn$f(g)$hat eine asymptotische Entwicklung in$g$als$g \to 0$als$f(g) + e^{-1/g^2}$hat genau die gleiche asymptotische Entwicklung. Beachten Sie zunächst, dass dies wie eine Spielzeugversion eines Instanton-Beitrags aussieht. Zweitens bedeutet die Tatsache, dass es mehr als eine Funktion mit denselben asymptotischen Erweiterungen gibt, dass man zusätzliche Annahmen benötigt, um tatsächlich die gesamte asymptotische Reihe zu "summieren".

Wenn ich zum Beispiel weiß, dass die Funktion, die die asymptotische Reihe approximiert, eine Steiljes-Funktion ist, dann weiß ich, dass ich, wenn ich Padé-Approximationen aus der Taylor-ähnlichen Reihe konstruiere, eine (exakte) Ober- und Untergrenze erhalten kann die Funktion, aus einer divergenten asymptotischen Reihe. Was Stieljes-Funktionen und Padé-Approximationen sind, wird in den ausgezeichneten Vorlesungen von Carl Bender behandelt, die durch einen der Kommentare angeregt wurden. Wenn ich außerdem weiß, dass die Koeffizienten in der Erweiterung langsam genug divergieren (glaube ich$(2n)!$, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich mich richtig erinnere), dann kann ich nicht nur eine obere und untere Grenze angeben, sondern die Padé-Näherungen konvergieren tatsächlich gegen die fragliche Funktion.