Fragen zum Large-Instanton-Problem

Question

Fragen zum Large-Instanton-Problem

Physik
Instantonen
Wegintegral
Gitter-Eich-Theorie
Quantenfeldtheorie

Arturo DonJuan

Das Problem.

Das Problem, über das ich spreche, ist das Large-Instanton-Problem asymptotisch freier nicht-abelscher Eichtheorien. Sie können darüber lesen in:

[1.] Abschnitt 15 von 't Hoofts Artikel von 1976 über die Instanton-induzierte effektive Lagrange-Funktion.
[2.] Abschnitt 9 (Seite 62) von Lectures on Instantons .

Hier ist im Grunde, was es ist: für $\mathrm{SU(N)}$ Eichtheorien (die Standard- BPST-Instantonen zulassen ) kommt der dominierende Beitrag von Eichfeldkonfigurationen zum Pfadintegral (dh für Quarkkorrelatoren) von einem einzelnen Instantonfeld.

\begin{aligned} ⟨ ψ (X_{1}) \dots ψ (X_{N}) \bar{ψ} (j_{1}) \dots \bar{ψ} (j_{M}) ⟩ & \sim \underset{(1)}{\underset{⏟}{\int D M \exp (- S_{M})}} \times \\ \underset{(2)}{\underset{⏟}{\int D \bar{ψ} D \exp [\bar{ψ} (γ^{μ} D (M)_{μ} + M) ψ] ψ (X_{1}) \dots ψ (X_{N}) \bar{ψ} (j_{1}) \dots \bar{ψ} (j_{M})}} \end{aligned}

$\begin{align} \langle\psi(x_1)\cdots\psi(x_n)\bar\psi(y_1)\cdots\bar\psi(y_m)\rangle&\sim\underset{(1)}{\underbrace{\int d\mathcal{M} \,\exp(-S_{\mathcal{M}})}}\times\\ &\underset{(2)}{\underbrace{\int \mathcal{D}\bar\psi\mathcal{D}\,\exp\left[\bar\psi(\gamma^\mu D(\mathcal{M})_{\mu}+m)\psi\right]\psi(x_1)\cdots\psi(x_n)\bar\psi(y_1)\cdots\bar\psi(y_m)}} \end{align}$

Wo $\int d\mathcal{M}$ ist ein Integral über den Modulraum für ein einzelnes $k_{\textrm{winding}=\pm 1}$ (Anti-) Instanton. Der Term (1) ist ein Integral über diesen Modulraum, wobei das Eichfeld an der Wirkung teilnimmt. Der Term (2) ist über den Restweg integral $\psi$ Und $\bar\psi$ , im Hintergrund eines einzelnen Instantons $\mathcal{M}$ . Der Term (1) sieht so aus:

D M \exp (- S_{M}) \sim \frac{D ρ}{G^{8} (μ)} ρ^{- 5} \exp [- \frac{8 π^{2}}{G^{2} (μ)} + C_{1} \ln (μ ρ)]

$d\mathcal{M} \,\exp(-S_{\mathcal{M}})\sim \frac{d\rho}{g^8(\mu)}\rho^{-5}\exp\left[-\frac{8\pi^2}{g^2(\mu)}+C_1 \ln(\mu\rho)\right]$

wo es eine untere Grenze gibt $\rho$ eingestellt durch $1/\mu$ . Für asymptotisch freie Eichtheorien der Grenzwert $\rho\rightarrow 0$ (Genau genommen $\rho\rightarrow 1/\mu$ , und dann $\mu\rightarrow\infty$ ) ist in Term (1) in Ordnung, weil

G^{2} \sim 8 π^{2} / B \ln (μ Λ) + (S u B l e A D ich N G C Ö R R e C T ich Ö N S)

$g^2\sim 8\pi^2/b\ln(\mu\Lambda)+\mathrm{(subleading corrections)}$

vorausgesetzt $b$ groß genug ist, was für QCD es ist ( $b=9$ in QCD, also $n(\rho) d\rho \sim \rho^{b-5} d\rho$ ist konvergent für $\rho\rightarrow 0$ ).

Allerdings sehen wir, dass die angeblich uneingeschränkt $\rho\rightarrow \infty$ IR-Grenze wird nicht kontrolliert – Begriff (1) weicht ab. Das ist mehr oder weniger das Large-Instanton-Problem.

Mögliche Auflösungen.

Hier sind also die möglichen Auflösungen, die man sich vorstellen könnte.

Das Integral $d\mathcal{M}$ beinhaltet zwangsläufig das fermionische Integral! Was ich meine ist, um die Korrelationsfunktion auszuwerten, müssen wir zuerst auswerten $(2)$ , und dann auswerten $(1)$ – sie sind nicht getrennt. Was passiert, wenn wir dieses Integral einbeziehen? Können wir einen effektiven Lagrange-Operator für Fermionen finden, nachdem wir über diese instantonischen Konfigurationen integriert haben? Vielleicht bietet das einen Cutoff für große $\rho$ .

Genau darauf hat 't Hooft in [1.] geantwortet. Die kurze Antwort lautet: Nein, der effektive Lagrange für $\psi$ hat die gleiche große $\rho$ Ausgabe.

Vielleicht waren wir naiv in der Annahme, dass nur einzelne Instanton-Konfigurationen dominieren. Vielleicht müssen wir auch Multi-Instanton-Konfigurationen einbeziehen. Wenn wir über ihre kollektiven Radien integrieren $d\rho_1\cdots d\rho_n$ , vielleicht sehen wir einen Cutoff.

Meine Fragen.

Die beiden Artikel, die ich zuvor erwähnt habe [1.][2.] lösen dieses Problem auf sehr seltsame Weise - sie zeigen dies, wenn Sie ein Higgs-Feld einbeziehen $\mathcal{L}_{\textrm{Higgs}}=-(D\phi)^{\dagger}(D\phi)-\mu^2\left(\phi^{\dagger}\phi-\nu^2\right)^2$ , durch eine interessante Methode, die als eingeschränkte Instantons bekannt ist, können Sie das jetzt zeigen $d\rho$ Integrand erhält einen Beitrag $\sim\exp\left[-c_2\rho^2-c_3\rho^4\ln(\nu\rho)\right]$ so wird es schnell auf freiem Fuß abgeschnitten $\rho$ . Aber in der realen Welt haben wir kein Higgs-Feld für asymptotisch Freie $\textrm{SU(3)}$ Sektor, dh QCD! Das echte Higgs-Feld liegt nur in einer nicht-trivialen Darstellung für den elektroschwachen Sektor vor, der auf unseren Skalen sehr schwach gekoppelt und nicht asymptotisch frei ist. Vielleicht wäre das in Ordnung, wenn wir die Existenz eines superduper schweren Higgs-Feldes für QCD annehmen würden, dessen Dynamik im Grunde völlig von unserer realen Welt entfernt ist (aufgrund seiner riesigen Masse).
Viele moderne Arbeiten, wie etwa Dynamical Supperssion of Large Instantons (Munster & Kamp, 2001), sagen, dass die großen Instanton-Größen tatsächlich durch Multi-Instanton-Wechselwirkungen unterdrückt werden. Wir sollten nicht über den Modulraum eines Instantons integrieren, sondern über viele Instantons & Anti-Instantons. Wenn Sie also nach Instanton-Konfigurationen auf dem Gitter suchen, werden Sie tatsächlich Instantons finden, die eine Verteilung enthalten $\rho$ das geht wie $n(\rho)\sim\exp(-c\rho^2)$ für groß $\rho$ , dh es gibt kein Large-Instanton-Problem. Wenn dies tatsächlich die realitätsrelevante Lösung des Large-Instanton-Problems ist, warum spricht dann überhaupt irgendjemand davon, Higgs-Felder einzuführen und die komplizierte Maschinerie eingeschränkter Instantons zu nutzen?

Antworten (2)

Fragen zum Large-Instanton-Problem

Thomas · Answer 1

Coleman nannte es bekanntermaßen eine „IR-Peinlichkeit“, kein IR-Problem, weil es in einem Regime stattfindet, in dem wir keine zuverlässigen Berechnungen durchführen können. Die grundlegende Antwort auf Ihre Frage lautet, dass das Schicksal großer Instantonen in QCD im Allgemeinen keine genau definierte Frage ist.

Einige Kommentare:

Was ist das große Instanton-Problem? Wir versuchen, die halbklassische Annäherung auf die Yang-Mills-Theorie und die QCD anzuwenden. Wir finden einen nicht-trivialen Sattelpunkt, das Instanton, mit Aktion $S=8\pi^2/g^2$ . Aufgrund der klassischen Skaleninvarianz gibt es Instantons in allen Größen, daher wird der Sattelpunkt durch eine kollektive Koordinate (Moduli) gekennzeichnet. $\rho$ die wir integrieren müssen. Dies scheint ein Problem zu sein, da das Maß auf dem Modulraum (wieder nur durch Skaleninvarianz) liegt $d\rho/\rho^5$ . Hier helfen Gaußsche Schwankungen um den Sattel herum, weil sie umwandeln $g^2$ Zu $g^2(\rho)\sim b\log(\rho\Lambda)$ . Jetzt konvergiert das Integral im UV (gut), divergiert aber im IR. Das sollte uns eigentlich nicht wundern, denn der Ausbauparameter ist in der halbklassischen Ausbaustufe $S\gg 1$ . YM und QCD haben jedoch keine dimensionslosen Parameter, die den Wert von bestimmen könnten $S$ .
Bemerkungen zu Higgsing usw. beziehen sich auf eine etwas andere Frage: Gibt es QCD-ähnliche Theorien (oder Szenarien, in denen QCD an externe Felder gekoppelt ist), in denen die semiklassische Entwicklung rigoros ist und das Schicksal großer Instantonen gelöst werden kann?
Die Antwort ist ja, es gibt viele Theorien dieser Art: 1) QCD bei hoher Temperatur. Die Debye-Abschirmung im Quark-Gluon-Plasma wirkt wie ein farbiges Higgs-Feld und die topologische Suszeptibilität an $T\gg\Lambda_{QCD}$ ist kalkulierbar . 2) QCD bei großer Baryonendichte. Auch hier wirkt das Debye-Screening in einer dichten Quarkflüssigkeit wie ein Higgs-Vev, siehe zum Beispiel hier . 3) Supersymmetrische Erweiterungen von QCD oder YM mit farbigen Higgs-Feldern, am bekanntesten ${\cal N}=2$ SUSY YM, untersucht von Seiberg und Witten . 4) QCD kompaktiert auf geeigneten Verteilern, beispielsweise QCD auf einem Kreis $R^3\times S^1$ (Dies ist im Grunde eine QCD mit endlicher Temperatur, außer dass man die Randbedingungen auf dem Kreis ändern kann) oder auf einem Torus.
Einige dieser Szenarien sind über ihre unmittelbare Anwendbarkeit hinaus interessant. Zum Beispiel stoßen wir in SUSY-Theorien auf Fälle, in denen die halbklassische Berechnung für große Higgs-vev oder auf einem kleinen Kreis durchgeführt werden kann , und dann stellt SUSY sicher, dass das Ergebnis für jede Higgs-vev oder Kreisgröße korrekt ist (d.h. in einer Grenze wobei die halbklassische Berechnung empfindlich auf große Instantonen reagiert).
Gitter-QCD ist ein rigoroser Ansatz für QCD im stark gekoppelten Regime. In der Gitter-QCD können wir kleine Instantonen identifizieren und ihre Verteilung untersuchen . Wir können große Instantonen nicht identifizieren, da große Instantonen schwache Felder und geringe Wirkung haben, sodass sie nicht von gewöhnlichen Störungsfluktuationen unterschieden werden können. Nur die topologische Gesamtladung $Q$ einer Konfiguration gemessen werden kann. Wir können nicht bestimmen, wie $Q$ zerfällt in die Anzahl der Instantons und Anti-Instantons, $Q=N_+-N_-$ .
Bei der Analyse der (wiederauflebenden) halbklassischen Erweiterung wurden Fortschritte erzielt. Für einige generische beobachtbare $O$
$Ö = (A_{0} + A_{1} G^{2} + A_{2} G^{4} + \dots) + (B_{0} + B_{1} G^{2} + \dots) \exp (- 8 π^{2} / G^{2}) + (C_{0} + C_{1} G^{2} + \dots) \exp (- 16 π^{2} / G^{2}) + \dots$ $O = (a_0+a_1g^2 + a_2 g^4 + \ldots ) \\ + (b_0 + b_1 g^2 + \ldots) \exp(-8\pi^2/g^2) \\ + (c_0 + c_1 g^2 + \ldots ) \exp(-16\pi^2/g^2) + \ldots$ Dies ist eine Summe über den Sektor 0-Instanton, 1-Instanton usw. Es wurde gezeigt, dass Mehrdeutigkeiten bei der Summierung der Störungsreihe auftreten $a_i$ werden durch Mehrdeutigkeiten in aufgehoben $c_i$ , und Mehrdeutigkeiten bei der Summierung $b_i$ stehen im Zusammenhang mit Unklarheiten in $d_i$ usw. Dies wird als Wiederauflebensprogramm bezeichnet . Dieses Programm benötigt jedoch noch eine externe Waage (z. B. eine Verdichtungswaage), um die Kopplung zu definieren $g$ . Bei der QCD bei Nulltemperatur und ohne externe Skalen ist die Abhängigkeit von der Kopplung durch die RG-Invarianz festgelegt, und es gibt keinen Expansionsparameter.
Ideen zur Lösung des großen Instanton-Problems durch Multi-Instanton-Effekte sind modellabhängige Aussagen darüber, was im starken Kopplungsregime passieren könnte. Es ist offensichtlich wahr, dass es einen Zusammenhang zwischen großen Instantonen und der Instanton-Anti-Instanton-Wechselwirkung gibt. Wenn Instantonen sehr groß sind, dann überlappen sie sich auch stark. Das Wiederauflebensprogramm macht jedoch deutlich, dass dies getrennte Themen sind. Es gibt Systeme, bei denen große Instantonen durch Einführen einer Skala entfernt werden und das verbleibende Instanton-Anti-Instanton-Problem durch Wiederaufleben gelöst wird.

Arturo DonJuan · Answer 2

In "Instantons in QCD" von E. Shuryak und T. Schafer wird diese Frage in Abschnitt III.C.4 beantwortet. Die Antwort ist im Grunde, dass wir Quantenfluktuationen ignoriert haben, auf deren Auswirkungen wir eingehen $g(\mu)$ wobei wir Skalierungen gemäß dem Einschleifen-Störungsergebnis angenommen haben, was offensichtlich im Bereich starker Kopplung nicht gültig ist $\mu\rightarrow 0$ . Die Formel für schwache Kopplung mit einer Schleife, die wir verwendet hatten, war

\begin{matrix} (1) & G (μ) \sim 8 π^{2} / B \ln (μ Λ) \end{matrix}

$g(\mu)\sim 8\pi^2/ b\ln(\mu\Lambda) \tag{1}$

Bei numerischer Messung am Gitter beginnt die Kopplung tatsächlich nach unten abzuflachen $\mu$ , im Gegensatz zu der durch Gleichung (1) vorhergesagten Divergenz. Indem Sie diese Eigenschaft lose in die Gleichung für das Single-Instanton-Maß (oder äquivalent die Single-Instanton-Größenverteilung) einfügen $n(\rho)$ ), wir sehen das $n(\rho)$ konvergieren könnte, und tatsächlich tut es. Um eine Vorstellung zu bekommen, wenn die Kopplung einen konstanten Wert sättigen würde $g(\mu ) = g_*$ (;macht es definitiv nicht, da QCD keinen IR-Festpunkt hat), dann $n(\rho)\sim \rho^{-5}$ , die für total konvergent ist $\rho\rightarrow \infty$ .

Man könnte sich fragen, ob die halbklassische Erweiterung in Bezug auf die zunehmende Anzahl von Instantonen überhaupt gültig ist $g(\mu\rightarrow 0 )$ . Denken Sie daran, dass die Gültigkeit dieser Erweiterung nicht davon abhängt, ob $g(\mu)$ klein oder groß ist, sondern wenn $S_0=8\pi^2/g^2(\mu)$ groß ist - das statistische Gewicht ist gegeben durch $\exp (-S)$ . Störungsfreie Schätzungen von $g(\mu)$ , die allerdings regelungsabhängig sind, zeigen, dass die Menge $8\pi^2/g^2(\mu)$ bleibt groß wie $\mu\rightarrow 0$ .

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Thomas

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