Typische störungsfreie Berechnungen in QFT verstehen [geschlossen]

1) Die Observablen in der Feldtheorie sind (T-geordnete) Korrelationsfunktionen. Diese Korrelationsfunktionen haben störende (P) und nicht-störende (NP) Beiträge, aber die Beziehung zwischen den Korrelatoren und Observablen ist offensichtlich dieselbe, unabhängig davon, ob der Korrelator von P- oder NP-Effekten dominiert wird. Beispielsweise die Korrelationsfunktion der QCD-Vektorströme

$$\Pi_{\alpha\beta}(x) = \langle j_\alpha(x) j_\beta(0)\rangle$$ ist mit dem berühmten verwandt $R$Verhältnis von $e^+e^-\to {\it hadrons}$über $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, $$R(s)\sim \pi\, {\rm Im}\,\Pi(q^2=s+i\epsilon),$$ Wo $\Pi_{\alpha\beta}(q)=(g_{\alpha\beta}q^2-q_\alpha q_\beta)\Pi(q^2)$, und ich habe einige Faktoren im Zusammenhang mit Quarkladungen fallen gelassen. Die Korrelationsfunktion ist perturbativ für vier oder fünf Schleifen bekannt (ich habe die Spur verloren) und sie hat einen berechenbaren Instanton-Beitrag.

2) Die gewöhnliche Störungstheorie geht von der Expansion um das triviale Vakuum aus. Nicht-störende Effekte entstehen durch die Erweiterung um nicht-triviale Sattelpunkte,$A_\mu=A_\mu^0+\delta A_\mu$, Wo$A_\mu^0$ist das Feld eines (Multi-)Instantons, Monopols etc. Bei führender Ordnung ist das eine ganz klassische Rechnung, bei höherer Ordnung handelt es sich um Propagatoren im Hintergrundfeld eines (Multi-)Instantons (usw.). Sie können diese Hintergrundfeldpropagatoren und Scheitelpunkte als neuen Satz von Feynman-Regeln anzeigen.

3) Es gibt viele Feinheiten im Zusammenspiel von P- und NP-Effekten. Zum Beispiel ist die P-Theorie im Allgemeinen divergent (nicht einmal Borel resummierbar), und jeder Versuch, die Störungssumme zu definieren, beinhaltet typischerweise NP-Mehrdeutigkeiten der Form$\exp(-2/g)$, Wo$g$ist die Kupplung. Diese Mehrdeutigkeiten müssen sich gegen NP-Mehrdeutigkeiten höherer Ordnung aufheben, ein Phänomen, das als Wiederaufleben bekannt ist.

4) In der Praxis besteht der Trick darin, Korrelationsfunktionen zu finden, die in allen Ordnungen der Störungstheorie verschwinden, berechenbare nicht-Störungseffekte haben und mit einer interessanten physikalischen Observable in Beziehung stehen. Ein mögliches Beispiel wäre die$U(1)_A$Rätsel in QCD, weil die Massendifferenz (Quark-Masseneffekte ignoriert) zwischen den$\eta'$und das Pion verschwindet in allen Ordnungen der Störungstheorie. Diese Massendifferenz hat einen Instanton-Beitrag, ist aber nicht zuverlässig berechenbar (aufgrund des IR-Problems der Instanton-Physik in der QCD).

5) Es wurden einige interessante Berechnungen durchgeführt, die die Kriterien in 4) erfüllen. Dazu gehören: i) Das Gluino-Kondensat in${\cal N}=1$SUSY Yang-Mühlen [1] , ii) Die$\eta'$Masse in QCD mit hoher Dichte [2] , iii) Bestimmte Korrelationsfunktionen in QCD [3] , iv) Die Quark-Kondensat- und Pion-Zerfallskonstante in deformierter QCD [4] .

Was Ihre enge Frage betrifft, nur ein Beispiel.

Nehmen Sie die naive PCAC-Gleichung für die Untergruppe an$U_{A}(1)$der vollständigen globalen chiralen Symmetriegruppe$U_{L}(3)\times U_{A}(3)$der QCD. Es wird von gegeben

$$\tag 1 \partial_{\mu}J^{\mu}_{5} \simeq f\partial^{2}\eta{'} = -m_{\eta{'}}^{2}f\eta{'},$$ Wo $\eta{'}$wäre das neunte pseudo-skalare Pseudo-Goldstone-Boson der QCD, $f \simeq f_{\pi}$die zugehörige Größe ist, die seine Zerfallsbreite bestimmt, und $m_{\eta'}$ist die Masse, die von Nicht-Null erzeugt wird $u,d,s$-Quarks Massen. Diese naive Gleichung $(1)$wird jedoch durch die axiale Anomalie modifiziert: $$\tag 2 f_{\pi}\partial^{2}\eta{'} \simeq -m_{\eta{'}}^{2}f_{\pi}\eta{'} + \frac{3g^{2}}{16\pi^{2}}G_{\mu\nu}^{a}\tilde{G}^{\mu\nu,a},$$ Wo $a$bezeichnet den Farbindex und $G$ist die Gluonfeldstärke. Gl. $(2)$sagt uns, dass die Anomalie einen effektiven Interaktionsterm erzeugt $$L_{\text{int}} = \frac{3g^{2}}{16 \pi^{2}}\frac{\eta{'}}{f_{\pi}}G_{\mu\nu}^{a}\tilde{G}^{\mu\nu,a}$$ Man kann die Korrektur der Selbstenergie von erhalten $\eta'$durch Berechnung der folgenden Green-Funktion: $$\Pi(p^{2}) \equiv \frac{9g^{4}}{256 \pi^{4}f_{\pi}^{2}} \int d^{4}x e^{ipx}\langle \text{vac}|T\big(G(x)\tilde{G}(x)G(0)\tilde{G}(0)\big)|\text{vac}\rangle$$ Insbesondere sein Wert für $p = 0$erzeugt die Korrektur $\Delta m_{\eta'}^{2}$Zu $\eta{'}$Masse, die tatsächlich viel größer ist als die anfängliche "nackte" $m_{\eta{'}}^{2}$, wodurch die Lösung des sogenannten $U_{A}(1)$Problem in der QCD.

Das Integral ist proportional zur sogenannten topologischen Suszeptibilität$\kappa (p^{2})$, definiert als

$$\kappa (p^{2}) \equiv \int d^{4}x e^{ipx}\langle \text{vac}|T\big(G(x)\tilde{G}(x)G(0)\tilde{G}(0)\big)|\text{vac}\rangle$$ Sie wird bekanntlich nicht störungsfrei durch Instantonen erzeugt, da sie durch Fluktuationen der quadrierten topologischen Ladungen bestimmt wird. Sie kann in Form eines Formulars abgegeben werden $$\tag 3 \Pi(p^{2}) \simeq \frac{1}{2f_{\pi}^{2}}\int d^{4}x e^{ipx}\left(\frac{\delta^{2}E(\theta)}{\delta\theta(x)\delta\theta(0)}\right)_{\theta = 0},$$ Wo $E(\theta)$sind die QCDs $\theta$-vacua effektives Potential definiert durch das euklidische Pfadintegral $$\tag 4 e^{-E(\theta)} \equiv \int DG_{\mu}D\bar{\psi}D\psi e^{-S_{\text{QCD}} - \int d^{4}x\theta G_{\mu\nu}\tilde{G}^{\mu\nu}}$$ Die Berechnungen sind im folgenden Artikel , Sec. 5. Einige allgemeine Ideen zur Berechnung dieser Größe sind in Weinbergs QFT Vol. No. 2, 23.7. Das Wesentliche ist das $(3)$wird durch die Schwankungen um die stationären Punkte des Exponenten erzeugt $(4)$, die Instanton-Lösungen sind.