Eine Symmetrie ist anomal, wenn das Pfad-Integral-Maß sie nicht respektiert. Dies äußert sich unter anderem in der Unfähigkeit, bestimmte Diagramme, die Fermionenschleifen enthalten, auf eine mit der Symmetrie kompatible Weise zu regularisieren. Insbesondere scheint es, dass der Effekt vollständig durch das Studium von 1-Loop-Diagrammen bestimmt wird. Kann jemand eine heuristische Erklärung geben, warum das so ist? Und gibt es eine strengere Ableitung, die lautet: "Ich kann einfach keinen guten Weg finden, diese Sache zu regeln."?
Ein alternativer Ansatz, der auf Fujikawa zurückzuführen ist, besteht darin, das Pfadintegral der Fermionen in einem Instanton-Hintergrund zu untersuchen. Dann sieht man, dass die Nullmoden hinsichtlich ihrer Transformation unter den Symmetrien nicht ausgeglichen sind, was zu einer anomalen Transformation des Maßes unter dieser Symmetrie führt. Insbesondere ist die Verletzung proportional zur Instantonzahl, und somit findet man, dass die Nichterhaltung des Stroms proportional zur Instantondichte ist. Dies wird auch durch das obige Störungsverfahren gefunden.
Meine Frage, die ein wenig heuristisch ist, lautet: Wie kommt es, dass der Effekt einerseits störend (und exakt bei 1-Schleife) erscheint und andererseits dennoch mit Instantonen zusammenhängt, die nicht störend sind?
Das sind alles gute Fragen. Vielleicht kann ich einige davon auf einmal beantworten. Die Gleichung, die die Verletzung der Stromerhaltung beschreibt, ist
wo eine Funktion der Kopplungskonstante ist . Es ist nicht möglich, eine andere Kandidatenantwort durch Dimensionsanalyse und Parität zu schreiben (vorausgesetzt, der Strom ist der gewöhnliche axiale Strom ...).
Nun integrieren wir beide Seiten über , und wir finden auf der linken Seite , was bedeutet, dass jetzt, da der Strom verletzt wird, sich die Ladung ändern kann, während sich das System entwickelt, während die rechte Seite es ist
Das Objekt auf der rechten Seite ist eine bekannte topologische Invariante des Eichbündels und eine ganze Zahl (wenn alle Ladungen geeignet quantisiert sind). Also auf der linken Seite bekommen wir , die ganzzahlig sein muss (wenn alle Elementarteilchen ganzzahlige Ladung tragen) und die rechte Seite bis auf die Funktion auch ganzzahlig ist .
Das bedeutet, dass die Funktion kann sich eigentlich nicht darauf verlassen . (Genauer gesagt gibt es ein Schema, wo dies nicht der Fall ist.) Daher ist es bei einer Schleife genau. Dies ist der moderne Beweis (ohne Berechnung) des ABJ-Theorems über die Ein-Schleifen-Genauigkeit der Anomalie.
Sie sehen also die tiefe Verbindung zwischen einer Schleife und Instantonen ... Die Verletzung der Erhaltungsgleichung liegt bei einer Schleife, aber um zu interessanten Konsequenzen zu führen, benötigen wir ein nichttriviales Eichbündel.
Zu einigen der anderen Kommentare, die Sie gemacht haben: JEDES Regularisierungsschema, das die Bose-Symmetrie respektiert, führt zu der Anomalie, es ist absolut unvermeidlich. Dies wird in http://inspirehep.net/record/154341?ln=en bewiesen .
Noch ein Kommentar: Auch aus Bosonenschleifen können Anomalien entstehen, zum Beispiel die Spurenanomalie. (Es ist in keiner Weise, die mir bekannt ist, eine Schleife genau.)
Arnold Neumaier
Zohar Ko