Point-Splitting-Technik bei Peskin und Schroeder

Question

Point-Splitting-Technik bei Peskin und Schroeder

Physik
Regulierung
Quantenanomalien
Quantenfeldtheorie

Benutzer43283

Einer der Eckpfeiler der Punktteilungstechnik zur Berechnung der chiralen Anomalie (Peskin und Schroeder 19.1, S. 655) ist eine symmetrische Grenze $\epsilon \rightarrow 0$ . Und das ist der Punkt, den ich nicht verstehe. Ist es wirklich möglich, eine solche Grenze zu nehmen? Betrachten Sie beispielsweise den Ausdruck

\begin{matrix} (19.23) & symm {lim}_{ϵ \to 0} {\frac{ϵ^{μ} ϵ^{v}}{ϵ^{2}}} = \frac{G^{μ v}}{D} \end{matrix}

$\text{symm}\,\text{lim}_{\epsilon \rightarrow 0} \Bigl\{\frac{\epsilon^{\mu}\epsilon^{\nu}}{\epsilon^2}\Bigr\} = \frac{g^{\mu \nu}}{d} \tag{19.23}$ In

d = 2

$d=2$ Dimensionen der Raumzeit. Lassen

μ = ν = 0

$\mu = \nu = 0$ . Dann

\frac{ϵ^{0} ϵ^{0}}{ϵ^{2}} = \frac{1}{1 - (\frac{ϵ^{1}}{ϵ^{0}})^{2}} .

$\frac{\epsilon^{0}\epsilon^{0}}{\epsilon^2} = \frac{1}{1-(\frac{\epsilon^1}{\epsilon^0})^2}.$ Aber letzterer Ausdruck ist entweder größer als 1 oder kleiner als 0 und kann daher nicht gleich sein

\frac{G^{00}}{2} = \frac{1}{2} .

$\frac{g^{00}}{2} = \frac{1}{2}.$

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QMechaniker · Answer 1

Der symmetrische Limes (19.23)

S^{μ v} := symm lim_{ϵ \to 0} {\frac{ϵ^{μ} ϵ^{v}}{ϵ^{2}}}, ϵ^{2} := ϵ^{μ} G_{μ v} ϵ^{v},

$S^{\mu\nu}~:=~ \text{symm}\,\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left\{\frac{\epsilon^{\mu}\epsilon^{\nu}}{\epsilon^2}\right\}, \qquad \epsilon^2~:=~\epsilon^{\mu}g_{\mu\nu}\epsilon^{\nu},$ sollte als Regularisierungsvorschrift betrachtet werden. Es ist Teil eines symmetrischen Point-Splitting-Regularisierungsschemas, vgl. Ref. 1. Der traditionelle Begriff der Grenze

lim_{ϵ \to 0} {\frac{ϵ^{μ} ϵ^{v}}{ϵ^{2}}}

$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left\{\frac{\epsilon^{\mu}\epsilon^{\nu}}{\epsilon^2}\right\}$ existiert nicht . Das Rezept

S^{μ v} := \frac{G^{μ v}}{D}

$S^{\mu\nu}~:=~\frac{g^{\mu\nu}}{d}$ wird durch drei Dinge motiviert:

Das Rezept $S^{\mu\nu}$ kann nur von der Metrik abhängen.
$S^{\mu\nu}$ sollte ein (2,0) Tensor sein bzgl. Lorentz-Transformationen.
Wenn wir einen Vertrag abschließen $S^{\mu\nu}$ mit $g_{\mu\nu}$ , sollte das Ergebnis sein $1$ .

Verweise:

ME Peskin & DV Schroeder, Eine Einführung in QFT; Abschnitt 19.1, p. 655.

Aber da eine solche Grenze nicht existiert, ist dieses Regularisierungsschema mathematisch nicht korrekt, oder? Wie können wir den damit erzielten Ergebnissen vertrauen?
1. Regularisierung weist einem mathematisch schlecht definierten Ausdruck einen Wert zu. Oft geschieht dies mit Hilfe eines Regulators, aber nicht immer, vgl. zB Regularisierung der Zeta-Funktion . 2. In einer physikalisch sinnvollen Theorie sollte das Ergebnis nicht vom Regularisierungsschema abhängen.
Ok, dann stellt sich heraus, dass das einzige Kriterium, dass dieses spezielle Regularisierungsschema gültig ist, die Übereinstimmung von Theorie und Experiment ist?

Luxtau · Answer 2

Gleiche Logik wie in (7.87) in Peskin selbst: $l^{\mu}l^{\nu} \rightarrow \frac{1}{d}l^2 g^{\mu\nu}$ .

Ref. Peskin & Schroeder, Abschnitt 7.5, p. 251.

Entschuldigung, aber das ist falsch. Gl. 7.87 verwendet dimensionale Regularisierung . Hier fragt OP nach Point-Splitting-Regularisierung . Das sind verschiedene Methoden.
Ich erwähnte die Logik, nicht die Methode. Die Symmetrieeigenschaft der Lorentztransformation wird genutzt, um (19.23) und (7.87) zu erreichen. Ich sehe den Unterschied nicht, der durch die beiden "unterschiedlichen Methoden" verursacht wird.

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