Klassische und Quantenanomalien

Heutzutage gibt es eine grundlegendere geometrische Interpretation von Anomalien, die meiner Meinung nach einige Ihrer Fragen lösen kann. Die grundlegende Quelle von Anomalien ist, dass wir klassisch und quantenmechanisch mit Realisierungen und Darstellungen der Symmetriegruppe arbeiten, dh, wenn wir eine Gruppe von Symmetrien durch eine Standardrealisierung auf einem bestimmten Raum erhalten, müssen wir die Aktion auf die adäquaten geometrischen Objekte heben, die wir haben Arbeit mit in der klassischen und Quantentheorie und manchmal kann diese Aktion nicht aufgehoben werden. Mathematisch wird dies als Hindernis für die Aktionshebung bezeichnet, die der Ursprung von Anomalien ist. Die Hindernisse führen oft zu der Möglichkeit, nicht die Gruppe der Symmetrien selbst zu realisieren, sondern eine Erweiterung derselben durch eine andere Gruppe, die auf natürliche Weise auf die geometrischen Objekte einwirkt, die die Theorie definieren.

Es gibt drei Ebenen der Realisierung einer Gruppe von Symmetrien:

Die abstrakte Ebene: zB die Aktion der Lorentz (Galileischen) Gruppe auf einem Minkowski (Euklidischen) Raum. Diese Darstellung ist zum Beispiel nicht einheitlich, und es ist nicht die Darstellung, mit der wir in der Quantenmechanik arbeiten.

Die klassische Ebene: Wenn die Gruppenaktion in Form von Funktionen realisiert wird, die zur Poisson-Algebra eines bestimmten Phasenraums gehören. Beispielsweise die Realisierung der Galilei- oder der Lorentz-Gruppe auf dem Phasenraum eines klassischen freien Teilchens.

Die Quantenebene, wenn die Gruppenaktion in Form einer linearen Darstellung von Operatoren auf einem Hilbert-Raum realisiert wird (oder nur Operatoren, die zu einigen gehören$C^*$Algebra. Beispielsweise die Realisierung der Galilei- oder der Lorentz-Gruppe auf einem Quanten-Hilbert-Raum eines freien Teilchens.

Nun kann der Übergang von der abstrakten Ebene entweder zur klassischen oder zur Quantenebene mit einem Hindernis einhergehen. Diese Hindernisse existieren bereits in der Quanten- und klassischen Mechanik mit endlich vielen Freiheitsgraden, und nicht nur in Quantenfeldtheorien. Zwei sehr bekannte Beispiele sind die Galileische Gruppe, die nicht auf der Poisson-Algebra des Phasenraums des freien Teilchens realisiert werden kann, sondern eine zentrale Erweiterung davon mit einer modifizierten Kommutierungsbeziehung:

$$[K_i, P_j] =-i \delta_{ij}m$$

, wurde verwirklicht. ($K_i$sind Boosts und$P_i$sind Übersetzungen$m$ist die Masse). Diese Erweiterung wurde von Bargmann entdeckt und wird manchmal als Bargmann-Gruppe bezeichnet. Ein zweites Beispiel ist die Realisierung von Spinsystemen in Form von Abschnitten homogener Linienbündel über die beiden Kugeln$S^2$. Nun die Aktion der Isometriegruppe$SO(3)$kann nicht auf Linienbündel angehoben werden, die halbzahligen Spins entsprechen, sondern a$\mathbb{Z}_2$Verlängerung davon, nämlich$SU(2)$gehoben werden kann. In diesem Fall ist die erweiterte Gruppe halbeinfach und das Problem that$SU(2)$eine Gruppenerweiterung von sein$SO(3)$und nicht nur eine universelle Abdeckung wird in Physiktexten normalerweise nicht betont.

Die als Folge dieser Hindernisse realisierten Gruppenerweiterungen können Folgendes erfordern:

1) Strahlendarstellungen der ursprünglichen Gruppe, die wahre Darstellungen der erweiterten Gruppe sind. Dies ist der Fall bei$SO(3)$, wobei die halbzahligen Spins durch Strahldarstellungen von SO(3) realisiert werden können, die wahre Darstellungen von sind$SU(2)$. Dabei sind die Lie-Algebren beider Gruppen isomorph.

2) Gruppieren Sie Erweiterungen, die Erweiterungen der Lie-Algebra entsprechen. Dies ist der allgemeinere Fall, der beispielsweise dem galiläischen Fall entspricht.

Jetzt, auf der Quantenebene, kann man leichter verstehen, warum die Hindernisse zu Gruppenerweiterungen führen. Das liegt daran, dass wir nach Repräsentationen suchen, die zwei zusätzliche Bedingungen erfüllen:

1) Einheitlichkeit

2) Positive Energie

Manchmal (bis zu$1+1$Dimensionen), können wir diese Bedingungen lediglich durch normale Ordnung erfüllen, was zu zentralen Erweiterungen der Symmetriegruppen führt. Dieses Verfahren gilt für den Fall der Virasoro- und der Kac-Moody-Algebren, die zentrale Erweiterungen der Witt- bzw. Schleifenalgebren sind und nach normaler Ordnung auf der Quantenebene erhalten werden können.

Die Beziehung zwischen normaler Ordnung und Anomalien kann dadurch erklärt werden, dass die Quantisierungsoperatoren Toeplitz-Operatoren sein müssen . Ein sehr bekanntes Beispiel ist die Realisierung des harmonischen Oszillators auf dem Bargmann-Raum analytischer Funktionen, dann sind die Toeplitz-Operatoren genau die Operatoren, bei denen alle Ableitungen nach rechts verschoben sind. Dies wird als Wick-Quantisierung bezeichnet und entspricht genau der normalen Ordnung in der algebraischen Darstellung. Die Haupteigenschaft der Toeplitz-Operatoren ist, dass ihre Zusammensetzung durch Star-Produkte erfolgt, und Sternprodukte von Toeplitz-Operatoren sind auch Toeplitz-Operatoren, also ist die Algebra der Quantenoperatoren geschlossen, aber nicht gegenüber der ursprünglichen Gruppe, sondern gegenüber einer zentralen Erweiterung derselben. Diese wichtige Interpretation wurde noch nicht auf Feldtheorien ausgedehnt.

Es ist erwähnenswert, dass zentrale Erweiterungen nicht die allgemeinsten Erweiterungen sind, die man erhalten kann, wenn eine Symmetrie in Bezug auf Operatoren in der Quantentheorie realisiert wird, es gibt Abelsche und sogar nicht-Abelsche Erweiterungen. Eine der bekannteren Erweiterungen dieses Typs ist die Mickelsson-Faddeev-Erweiterung der Algebra der nicht-abelschen Ladungsdichten von chiralen Fermionen, wenn sie an ein externes Yang-Mills-Feld gekoppelt sind$3+1$Maße:

$$[T_{a}(x), T_{b}(y)] = if_{ab}^c T_c(x) \delta^{(3)}x-y) +id_{ab}^c\epsilon_{ijk} \partial_i\delta^{(3)}(x-y) \partial_j A_{ck}$$

Diese Erweiterung ist eine abelsche nichtzentrale Erweiterung.

Die Erklärung der Existenz von "Anomalien" im klassischen Fall, dh auf der Poisson-Algebra, ist bereits bei der einfachsten symplektischen Mannigfaltigkeit nachvollziehbar$\mathbb{R}^2$, die Poisson-Algebra ist nicht isomorph zur Translations-Algebra. Eine tiefere Analyse findet sich zum Beispiel in: Marsden und Ratiu Seite 408 für den Fall der galiläischen Gruppe. Sie zeigten, dass sich die Galileische Gruppe auf dem Hilbert-Raum freier Teilchen zu einer zentralen Erweiterung (der Bargmann-Gruppe) aufhebt, die einheitlich auf den Hilbert-Raum freier Teilchen wirkt:$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3)$. Nun der projektive Hilbertraum$\mathcal{PH}$ist eine symplektische Mannigfaltigkeit (wie jeder komplexe projektive Raum), in die der Phasenraum des Teilchens eingebettet ist. Die Beschränkung der Darstellung auf den projektiven Hilbertraum und dann auf den Phasenraum des Teilchens behält die zentrale Erweiterung bei, ist also isomorph zur erweiterten Gruppe, also wirkt die erweiterte Gruppe auf die Poisson-Algebra.

Eigentlich sollte man immer damit rechnen, dass die Anomalie klassisch auf dem Phasenraum realisiert wird. Der Fall von fermionischen chiralen Anomalien scheint einzigartig, weil es üblich ist zu sagen, dass die Anomalie nur auf der Quantenebene existiert. Der Grund ist, dass der Raum der Grassmann-Variablen eigentlich kein Phasenraum ist, und selbst bei den Fermionen existiert die Anomalie auf der klassischen Ebene, wenn man sie in „bosonischen Koordinaten“ darstellt. Diese Anomalien werden als Wess-Zumino-Witten-Terme angegeben. (Natürlich sind diese Darstellungen in der Störungstheorie nicht nützlich).

Ein weiterer Grund, warum Anomalien immer auf der klassischen Ebene (Phasenraum) existieren, ist, dass bei der geometrischen Quantisierung Anomalien auf der Ebene der Vorquantisierung erhalten werden können. Nun erfordert die Vorquantisierung nicht mehr Daten als den Phasenraum (nicht wie die Quantisierung selbst, die eine Polarisation erfordert).

Versuchen Sie nun, auf Ihre spezifischen Fragen zu antworten. Es ist wahr, dass chirale Anomalien in Quantenfeldtheorien entdeckt wurden, als keine UV-Regulatoren gefunden werden konnten, die die chirale Symmetrie respektieren. Aber Anomalie ist eigentlich eine Infraroteigenschaft der Theorie. Das Zeichen dafür ist das Adler-Bardeen-Theorem, dass keine höhere Schleifenkorrektur (als eine) der axialen Anomalie vorhanden ist und, was noch wichtiger ist, nur masselose Teilchen zur Anomalie beitragen. In dem Operatoransatz, den ich in dieser Antwort zu übernehmen versucht habe, ist die Anomalie eine Folge einer Verformung, die an den Symmetriegeneratoren durchgeführt werden sollte, um im physikalischen Hilbert-Raum gut definiert zu sein, und keine direkte Folge der Regularisierung.

Zweitens existiert die Anomalie gleichermaßen auf beiden Ebenen quanten- und klassisch (auf dem Phasenraum). Der Fall von Fermionen und Regularisierung wurde gesondert behandelt.

Update - Ausarbeitung des Spin-Falls:

Hier die Ausarbeitung der$SO(3)$,$SU(2)$Fall, der alle Zutaten bezüglich der Hemmung des Hebens und der Gruppenerweiterungen enthält, außer dass er keine entsprechende Lie-Algebra-Erweiterung hat.

Wir arbeiten weiter$S^2$unter Verwendung der stereografischen Projektionskoordinate, die in Bezug auf die Polarkoordinaten gegeben ist durch:

$$z = \tan \frac{\theta}{2} e^{i \phi}$$

Ein Element der Gruppe$SU(2)$

$$g=\begin{pmatrix} \alpha& \beta\\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha } \end{pmatrix}$$

wirkt auf$S^2$nach der Möbius-Transformation:

$$z \rightarrow z^g = \frac{\alpha z + \beta}{-\bar{\beta} z + \bar{\alpha } }$$

Man beobachtet jedoch, dass die Wirkung des speziellen Elements:

$$g_0=\begin{pmatrix} -1& 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

ist identisch mit der Aktion der Identität. Dieses Element ist ein SU(2)-Element, das zur Einheit von SO(3) projiziert wird (dies kann aus seiner dreidimensionalen Darstellung gesehen werden, die die Einheitsmatrix ist). Also die Gruppe, auf die nicht trivial einwirkt$S^2$ist$SO(3)$

Nun können quantenmechanisch Spinsysteme auf der Kugel in Hilbert-Räumen analytischer Funktionen realisiert werden:

$$(\psi, \xi) = \int_{S^2} \overline{\xi(z)} \psi(z) \frac{dzd\bar{z}}{(1+\bar{z}z)^2}$$

Verwandlung unter$SU(2)$entsprechend:

$$\psi(z) \rightarrow \psi^g(z) = (-\bar{\beta} z + \bar{\alpha })^{2j} \psi(z^{g^{-1}})$$

Dies ist eine Strahlendarstellung von$SO(3)$wie$SO(3)$hat keine halbzahligen Darstellungen.

Die erste Beobachtung (das Quantenniveau) ist nun, dass das spezielle Element nicht als Einheitsoperator auf die Wellenfunktionen einwirkt, sondern für halbzahlige Spins eine Phase von hinzufügt$\pi$. Damit ist gemeint, dass die$SO(3)$Aktion kann nicht in den Quanten-Hilbert-Raum gehoben werden.

Wenden wir uns nun der klassischen Ebene zu. Die symplektische Form auf$S^2$ist proportional zu seinem Flächenelement. Die Proportionalitätskonstante muss in einer vorquantisierbaren Theorie eine ganze Zahl sein (Dirac-Quantisierungsbedingung)

$$\omega = 2j \frac{dz \wedge d\bar{z}}{(1+\bar{z}z)^2}$$

Die entsprechende Poisson-Klammer zwischen zwei Funktionen auf der Kugel:

$$\{f, h\} =\frac{1}{2j} (1+\bar{z}z)(\partial_z f \partial_{\bar{z}} h - \partial_z h \partial_{\bar{z}} f)$$

Die Funktion, die die Gruppenwirkung in der Poisson-Algebra erzeugt, ist gegeben durch:

$$f_g= \left(\frac{\alpha \bar{z}z + \beta \bar{z} - \bar{\beta}z + \bar{\alpha}}{1+\bar{z}z}\right)^{2j}$$

Nun, die Funktion, die die Einheit von SU(2) in der Funktion darstellt$f=1$, während die Funktion, die das spezielle Element darstellt, ist$f=-1$für halbzahlige Spins, was eine andere Funktion ist (Es muss eine Konstante sein, weil sie zum Zentrum von gehört$SU(2)$, also muss es mit allen Funktionen nach Poisson pendeln.

So ist auch auf klassischem Niveau die Wirkung von$SO(3)$hebt sich nicht zur Poisson-Algebra auf.

Nun zur Frage der klassischen Unterscheidung$SU(2)$von$SO(3)$. Wenn Sie die klassische Zustandssumme eines Spins berechnen$\frac{1}{2}$Gas, das mit einem Magnetfeld interagiert, wird es anders sein als sagen wir Spin$1$, aber drehen$\frac{1}{2}$existiert überhaupt nur dann, wenn$SU(2)$handelt, weil$SO(3)$erlaubt nur ganzzahlige Spins.