Anomalien und Kurzstreckendivergenzen...

Question

Anomalien und Kurzstreckendivergenzen...

Physik
Betreiber
Regulierung
Quantenanomalien
Quantenfeldtheorie

AccidentalFourierTransform

Lassen $J$ ein gewisser Noetherstrom sein

J = J [ϕ]

$J=J[\phi]$ Wo

ϕ

$\phi$ ist ein Feld. Dieses Objekt ist klassisch konserviert, obwohl es im quantenmechanischen Fall anomal sein kann.

Im funktionalen integralen Formalismus ist das Scheitern von $J$ zu konservieren ist einem nicht trivialen Jacobi ¹ zugeordnet . Typischerweise findet man

⟨ \partial \cdot J ⟩ = ⟨ A [ϕ] ⟩

$\langle \partial\cdot J\rangle=\langle A[\phi]\rangle$ Wo

⟨ \cdot ⟩

$\langle\,\cdot\,\rangle$ bezeichnet einen Erwartungswert, und

A [ϕ]

$A[\phi]$ ist die Anomaliefunktion (die Spur des Logarithmus der Jacobi-Transformation).

Im Operatorformalismus gilt die Anomalie als Operatorgleichung,

\partial \cdot \hat{J} = A [\hat{ϕ}]

$\partial\cdot \hat J=A[\hat \phi]$ Wo

\hat{J} = J [\hat{ϕ}]

$\hat J=J[\hat\phi]$ .

Die Nichtkonservierung von $\hat J$ wird normalerweise seiner einzigartigen Natur zugeschrieben ² . Da es sich um einen nichtlinearen Operator handelt, führen die übereinstimmenden Raumzeitpunkte in seiner Definition zu einem $0\times\infty$ unbestimmt, und man muss einen Regler einführen. Wenn der Regler entfernt wird, findet man normalerweise einen endlichen Beitrag ungleich Null, mit dem wir uns identifizieren $A[\hat\phi]$ .

Hier liegt ein Paradoxon vor, denn $A[\hat\phi]$ ist in der Regel auch in den Feldern nichtlinear und enthält daher auch zusammenfallende Raumzeitpunkte. Mit anderen Worten, selbst wenn $\partial\cdot \hat J$ unter Verwendung eines expliziten Reglers konstruiert wurde und die Grenze sorgfältig genommen wird, bleibt eine Divergenz. Nehmen wir als Beispiel die chirale Anomalie, wo $A\propto \hat F\wedge \hat F\cdots \wedge \hat F$ . Hier, $\hat F$ ein singulärer Operator ist, also die Anomalie $A$ ist schlecht definiert. Still, $\partial\cdot\hat J$ war angeblich endlich.

Was ist denn hier los? Wie wird dieses Paradoxon gelöst? Wie können wir die Singularitäten in der Anomaliefunktion verstehen, wenn dieses Objekt präzise konstruiert wurde, indem die Singularitäten in gesammelt wurden $\hat J$ und Identifizieren des endlichen Beitrags, wenn der Regler entfernt wird?

^{1: Siehe zum Beispiel Weinbergs QFT, Vol.II, §22.2. Siehe auch Peskin & Shroeder, §19.1 (insbesondere die Diskussion um Gleichung 19.61 auf Seite 664).}

^{2: Siehe zum Beispiel Peskin & Shroeder, §19.1 (insbesondere die Diskussion um Gleichung 19.22 auf Seite 655). Siehe auch Itzykson & Zuber, §11-5-3 (insbesondere die Diskussion um Gleichung 11-229 auf Seite 559).}

ZweiBs

Nur ein kleiner Kommentar: Im Beispiel der chiralen Anomalie müssen die Eichfelder keine sich ausbreitenden Felder sein; sie können externe C-Zahlenfelder sein (und werden praktisch als solche verwendet). Aus Sicht des Pfadintegrals gibt es im Grunde kein Problem, da die Integration über die Eichbahn nach der Integration über die Fermionen erfolgen kann, die nur ein externes Feld sehen

Benutzer178876

Verwechselst du nicht zwei Dinge? Ja, das Pfadintegralmaß kann eine nicht triviale Phase unter einer "anomalen" Transformation aufnehmen. So weit, ist es gut. Aber die Diskussion der Singularität ist für mich nicht durchsichtig. Gemäß Ihrer Diskussion ist jedes lokale Produkt von Feldoperatoren singulär. Oder warum sagst du das

A

$A$ ist schlecht definiert?

AccidentalFourierTransform

@TwoBs sicher, aus dem Pfadintegral-POV gibt es kein Problem, die Eichfelder als externe c-Zahlen zu behandeln und zuerst über die fermionischen Felder zu integrieren. Aber vom Operator-POV aus können die Eichfelder sowohl einen externen c-Zahl-Beitrag als auch einen internen q-Zahl-Beitrag enthalten (z. B. in QCD, wo die chirale Anomalie mit dem assoziiert ist

θ

$\theta$ Begriff; hier beides

ψ

$\psi$ Und

A^{μ}

$A^\mu$ sind Quantenoperatoren). In diesem Sinne können die Eichfelder Ausbreitungsfelder sein, in welchem Fall das Paradoxon entsteht. Genau diese Situation interessiert mich hier.

AccidentalFourierTransform

@marmot Ich habe einige Referenzen eingefügt. „ Jedes lokale Produkt von Feldoperatoren ist singulär “: Tatsächlich sind lokale Produkte von Feldoperatoren immer singulär. Denken Sie an OPEs (oder die Tatsache, dass Propagatoren singulär sind

x = y

$x=y$ ).

ZweiBs

@AccidentalFourierTransform Ich vermute, dass Ihre Frage im Grunde lautet, warum die Anomalie lokal ist (beide

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ am selben Punkt) und doch endlich. Eine Möglichkeit zu sehen, dass dies tatsächlich endlich ist, besteht darin, an die andere, IR-Seite der Anomalie zu denken. Sie laufen nicht und haben auf allen Skalen denselben Wert, einschließlich des tiefen IR, dh bei großen Entfernungen (woher die t'Hooft-Anomalie-Anpassung kommt), wo keine Divergenz erwartet wird.

AccidentalFourierTransform

@TwoBs Das macht eigentlich sehr viel Sinn. Da muss ich noch mal drüber nachdenken, aber vielen Dank!

Benutzer178876

Entschuldigen Sie die Wiederholung, aber ich habe wirklich das Gefühl, dass Sie die Dinge verwirren. Sprechen Sie von Operatoren oder Korrelatoren? Das Problem ist das

⟨ \partial_{μ} {\hat{J}}^{μ} ⟩

$\langle \partial_\mu \hat J^\mu\rangle$ verschwindet nicht, auch wenn

J^{μ}

$J^\mu$ ist ein (klassisch konservierter) Noetherstrom. Aber wenn Sie meinen, dass die Operator-basierte Diskussion von Anomalien in manchen Büchern etwas düster ist, stimme ich zu.

Antworten (1)

Anomalien und Kurzstreckendivergenzen...

Nur ein kleiner Kommentar: Im Beispiel der chiralen Anomalie müssen die Eichfelder keine sich ausbreitenden Felder sein; sie können externe C-Zahlenfelder sein (und werden praktisch als solche verwendet). Aus Sicht des Pfadintegrals gibt es im Grunde kein Problem, da die Integration über die Eichbahn nach der Integration über die Fermionen erfolgen kann, die nur ein externes Feld sehen
Verwechselst du nicht zwei Dinge? Ja, das Pfadintegralmaß kann eine nicht triviale Phase unter einer "anomalen" Transformation aufnehmen. So weit, ist es gut. Aber die Diskussion der Singularität ist für mich nicht durchsichtig. Gemäß Ihrer Diskussion ist jedes lokale Produkt von Feldoperatoren singulär. Oder warum sagst du das $A$ ist schlecht definiert?
@TwoBs sicher, aus dem Pfadintegral-POV gibt es kein Problem, die Eichfelder als externe c-Zahlen zu behandeln und zuerst über die fermionischen Felder zu integrieren. Aber vom Operator-POV aus können die Eichfelder sowohl einen externen c-Zahl-Beitrag als auch einen internen q-Zahl-Beitrag enthalten (z. B. in QCD, wo die chirale Anomalie mit dem assoziiert ist $\theta$ Begriff; hier beides $\psi$ Und $A^\mu$ sind Quantenoperatoren). In diesem Sinne können die Eichfelder Ausbreitungsfelder sein, in welchem Fall das Paradoxon entsteht. Genau diese Situation interessiert mich hier.
@marmot Ich habe einige Referenzen eingefügt. „ Jedes lokale Produkt von Feldoperatoren ist singulär “: Tatsächlich sind lokale Produkte von Feldoperatoren immer singulär. Denken Sie an OPEs (oder die Tatsache, dass Propagatoren singulär sind $x=y$ ).
@AccidentalFourierTransform Ich vermute, dass Ihre Frage im Grunde lautet, warum die Anomalie lokal ist (beide $F_{\mu\nu}$ am selben Punkt) und doch endlich. Eine Möglichkeit zu sehen, dass dies tatsächlich endlich ist, besteht darin, an die andere, IR-Seite der Anomalie zu denken. Sie laufen nicht und haben auf allen Skalen denselben Wert, einschließlich des tiefen IR, dh bei großen Entfernungen (woher die t'Hooft-Anomalie-Anpassung kommt), wo keine Divergenz erwartet wird.
@TwoBs Das macht eigentlich sehr viel Sinn. Da muss ich noch mal drüber nachdenken, aber vielen Dank!
Entschuldigen Sie die Wiederholung, aber ich habe wirklich das Gefühl, dass Sie die Dinge verwirren. Sprechen Sie von Operatoren oder Korrelatoren? Das Problem ist das $\langle \partial_\mu \hat J^\mu\rangle$ verschwindet nicht, auch wenn $J^\mu$ ist ein (klassisch konservierter) Noetherstrom. Aber wenn Sie meinen, dass die Operator-basierte Diskussion von Anomalien in manchen Büchern etwas düster ist, stimme ich zu.

David Bar Mosche · Answer 1

Obwohl Kontaktbedingungen entstehen können, wenn lokale Betreiber multipliziert werden, tun sie dies im Fall der Anomalie nicht. Qualitativ liegt der Grund dafür darin, dass die Kontaktbedingungen empfindlich auf die Kurzstreckenbegrenzung reagieren und vom Regularisierungsschema abhängen.

Anomalien hingegen überleben die Infrarotgrenze, wenn die Kontaktterme unwichtig werden und unabhängig vom Regularisierungsschema sind. Quantitativ können Anomalien nichtlokalen Gegenbegriffen des Typs zugeschrieben werden:

\int D^{4} X \frac{\partial_{μ} A^{μ}}{◻} F_{a β} F^{a β}

$\int d^4x \frac{\partial_{\mu} A^{\mu}}{\Box} F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta}$ (Dieser Term ist nicht lokal, aber seine Pegelvariation ist lokal und erzeugt die korrekte Anomalie in der aktuellen Divergenz). Der inverse Laplace-Operator unterdrückt die UV-Abhängigkeit.

+1 Danke. Das Bild wird mir klar. Ich werde mir noch ein paar Gedanken machen und später berichten.

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Benutzer178876

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