Hermitizität des Dirac-Operators γμDμγμDμ\gamma^{\mu}D_{\mu} und Expansion in Eigenmoden

Die (vom Operator bewertete) Matrix$\not D=\gamma\cdot D$ist bezüglich des Skalarprodukts antihermitesch

$$\langle v,u\rangle:=\int_{\mathbb R^d} \bar v(x)u(x)\ \mathrm dx\tag1$$ Wo $$\bar v(x):= v^\dagger(x)\gamma^0\tag2$$

Tatsächlich schreiben

$$\not D=\not\!\partial-i\not A\tag3$$

Es ist klar, dass der zweite Faktor erfüllt ist

$$\begin{equation} \begin{aligned} \overline{i\not A}&=-i\overline{\not A}\\ &=-i\not A \end{aligned}\tag4 \end{equation}$$ wo wir die Tatsache verwendet haben, dass $\gamma^\mu$erfüllt $$\gamma^0\gamma^{\mu\dagger}\gamma^0=\gamma^\mu\tag5$$ und das $A^\mu$ist hermitesch.

Andererseits kommt der erste Faktor hinzu$(3)$erfüllt

$$\begin{aligned} \langle v,\not\!\partial u\rangle&=\int_{\mathbb R^d} \bar v(x)\not\!\partial u(x)\ \mathrm dx\\ &=-\int_{\mathbb R^d} \bar v(x)\overset{\leftarrow}{\not\!\partial}u(x)\ \mathrm dx\\ &=-\int_{\mathbb R^d} \overline{(\bar{\not\!\partial }v)}(x)u(x)\ \mathrm dx\\ &=-\langle \not\!\partial v,u\rangle \end{aligned}\tag6$$ wobei wir in der ersten Gleichheit partiell integriert und in der letzten verwendet haben $(5)$.

Daraus lernen wir das$\not D$erfüllt$\overline{\not D}=-\not D$, was der Aussage entspricht, dass$\not D$ist anti-hermitesch in Bezug auf$\langle\cdot,\cdot\rangle$, wie behauptet.

Beachten Sie, dass dieser Begriff der Antihermitizität dies garantiert$i\not D$ist mit reellen Eigenwerten und orthogonalen Eigenvektoren aus den üblichen Gründen (Spektralsatz usw.) diagonalisierbar:

$$\tag7 i\not Dv_i=\lambda_i v_i\qquad\Rightarrow\qquad\begin{cases}\lambda_i\in\mathbb R\\\langle v_i,v_j\rangle\propto\delta_{ij}\end{cases}$$