Regularisierung unendlichdimensionaler Determinanten

Kann eine Regularisierung der Determinante verwendet werden, um die Eigenwerte des Hamiltonoperators in der normalen unendlichdimensionalen Umgebung von QM zu finden?

Edit: Ich habe mich nicht klar ausgedrückt. In endlichen Dimensionen gibt es eine Funktion von λ deren Wurzeln die Eigenwerte (oder Inversen der Eigenwerte) eines gegebenen Operators sind U , nämlich das charakteristische Polynom det ( ich − λ U ) . Gibt es eine Möglichkeit, diese Determinante zu regulieren, um dasselbe in unendlichen Dimensionen zu tun? Im Algemeinen? Oder zumindest für unitäre Operatoren, die die Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Systems beschreiben?

Link zu einer verwandten Frage Was bedeutet eine einheitliche Transformation im Zusammenhang mit einer Evolutionsgleichung?

EDIT: Vielleicht ist die Frage immer noch nicht klar. Die Frage war und ist immer noch, ¿ob Sie regularisieren det ( ich − λ U ) als komplex bewertete Funktion von λ , zum U ein unitärer Operator, werden seine Nullen die Werte von sein λ so dass ich − λ U nicht umkehrbar? ¿Hat einen Kernel ungleich Null? ¿Oder verliert die Regularisierung der Determinante den Bezug zu dieser Eigenschaft der endlichdimensionalen Determinante?

Können Sie die Frage bitte präzisieren? Meinen Sie, können Sie das Schrordinger-Eigenwertproblem auf ein endlichdimensionales System diskretisieren und dann die Eigenwerte E der endlichdimensionalen Matrix M unter Verwendung von det (M-EI) = 0 finden und die korrekten Ebenen E in der Grenze wiederherstellen, die die Dimension des Systems geht ins Unendliche?
Das wäre die bestmögliche Antwort, aber ich könnte mich mit weniger zufrieden geben. Ich versuche die Frage auch umzuformulieren.
Dann geht es bei Ihrer Frage überhaupt nicht um die Determinante, sondern um die rechnerische Regulierung der Schrödinger-Operatoren. Dies ist sehr einfach zu tun, es ist normal in Computerstudien, aber ich bin mir nicht sicher, wie viel genau über die Kontinuumsgrenze bekannt ist.
Ich weiß nicht, warum Sie "Regulierung" sagen. Ich habe Ihnen unten das "regularisierte" Formular gegeben. Ich denke, Sie meinen etwas anderes, "Regularisierung" bedeutet, die Theorie auf ein Gitter zu setzen oder die Kontinuumsgrenze auf andere Weise zu durchbrechen, z. B. eine unendliche Summe mit zusätzlichen Faktoren zu erstellen. Sie fragen, ob die Determinanten nach entsprechender Umskalierung im großen L klein konvergieren ϵ Beschränkung auf eine eindeutige Funktion von λ , und es könnte, für die entsprechende Klasse von Potentialen. Häufig wird die Regularisierung der Zeta-Funktion verwendet. Konvergenz ist für PI nicht erforderlich.
wofür steht «PI»?
Ich weiß nicht, ob dies einen Unterschied macht, außer in der Grammatik, aber ich habe nicht „Regularisierung“ gesagt, ich habe „Regularisierung“ gesagt, und das liegt daran, dass dies das normale Wort für die Änderung der Definition einer divergierenden Funktion (oder eines Integrals) ist ), um es konvergent zu machen und dennoch mit dem Original übereinzustimmen, wenn das Original konvergent wäre. ZB Regularisierung der Determinante der Zeta-Funktion. Gittermethoden sind eine Methode der Regularisierung, aber nicht die einzige. AFAIK, die Regularisierung der Zeta-Funktion funktioniert nicht für das charakteristische Poly, und selbst wenn dies der Fall wäre, hätten die Eigenwerte nicht die Wurzeln.
PI = "Path Integral", wo Sie solche Determinanten natürlich erhalten. Beim Wegintegral nehmen Sie ein Protokoll, das die gesamte multiplikative Konstante loswird, und wenn Sie dann nach differenzieren λ , erhalten Sie die Green-Funktion. Dann können Sie die Regularisierung der Zeta-Funktion verwenden, aber die Gitterregularisierung ist auch in Ordnung. Sie müssen die Eigenwerte nicht kennen, um den gitterregulierten Operator aufzuschreiben, und das Begrenzungsverfahren für die kleinen Energieeigenwerte sollte funktionieren, obwohl es lästig ist, die Klasse der funktionierenden Potentiale zu finden.

Antworten (3)

Die Kontinuum-Eigenwerte und -Eigenvektoren des Schrödinger-Operators sind die begrenzenden tief liegenden Eigenwerte und Eigenvektoren der diskreten Gitternäherungen. Gegeben sei ein Schrödinger-Operator

H = ∑ ich EIN ich ∂ ich 2 + v ( x 1 , . . . . , x n )

Wobei V von der geeigneten Klasse ist (glatt ist zu restriktiv - Sie können auch Delta-Funktionen und zufällige Potenziale haben, aber ich kenne die bestmögliche Funktionsklasse nicht - es könnte jedes integrierbare Potenzial sein, dh jedes Potenzial überhaupt BEARBEITEN: Natürlich kann es nicht, da die -1 / r ^ n-Energieniveaus weglaufen, um über der attraktiven Stelle lokalisiert zu werden.Die korrekte Bedingung für das Potenzial ist beteiligt, aber Sie können es annehmen fortlaufend für diese Diskussion), ersetzen Sie die x durch ein quadratisches Abstandsgitter ϵ und der Gesamtgröße L in jeder Richtung mit periodischen Grenzen, ersetzen die ∇ ich durch das Gitter ∇ ich

( H L ψ ) ( x ) = ∑ ich EIN ich ϵ 2 ( ψ ( x ich + ϵ ) − 2 ψ ( x ich ) + ψ ( x ich − 1 ) ) + v L ( x ) ψ ( x )

Wobei V_L(x) das Integral über ein Gittervolumen des Kontinuums V(x) in an ist ϵ Box zentriert bei x, und die diskrete zweite Ableitung ist die Differenz zwischen der Vorwärtsdifferenz und der Rückwärtsdifferenz.

Dann werden die näherungsweise glatten tief liegenden Eigenvektoren von H L konvergieren zu den Eigenwerten von H in der Kontinuumsgrenze, und was die hohen Eigenvektoren betrifft, wen interessiert das, das sind Gitterartefakte. Ich bin sicher, dass man dies alles rigoros beweisen kann, obwohl die Schrödinger-Gleichung vom physikalischen Standpunkt aus physikalisch suspekt wäre, wenn dies nicht der Fall wäre.

Sie können die Konvergenz auf einem Computer sehen, wenn Sie einen diskretisierten Schrödinger-Operator simulieren. Die Konvergenz des diskreten zu kontinuierlichen Propagators kann man relativ einfach aus dem Pfadintegral beweisen. Bei den einzelnen Eigenwerten und Eigenvektoren wird es etwas aufwendiger. Wenn Sie einen mathematischen Beweis wollen, kann ich versuchen, einen zu skizzieren.

EDIT: Determinantenformel

Wenn Sie sich die Eigenwertgleichung für den endlichdimensionalen Operator ansehen H L ,

d e t ( H L − λ ich )

finden Sie ein Polynom endlichen Grades, dessen Nullstellen die Eigenwerte der Gleichung im Grenzwert sind ϵ → 0 , L → ∞ .

Was meinen Sie d e t ( H L − λ ich ) . Dies ist ein Polynom endlichen Grades in λ deren Eigenwerte die von sind H L .
Sie scheinen zu sagen, dass es die Menge der Nullen ist, die eine Grenze hat? Nicht das Polynom?
@ Joseph: ja --- es ist nicht offensichtlich, dass das Polynom konvergiert, aber die Nullen sind es mit Sicherheit. Aber wenn Sie einen bestimmten Satz von Nullen erhalten, können Sie eine Euler-Produktformel schreiben und eine analytische Funktion erstellen, die diese Nullen enthält, und vielleicht ergibt dies einen eindeutig korrekten Kontinuumsbegriff einer unendlichen Dimensionsdeterminante, ich bin mir nicht sicher. Ich denke immer, dass es geregelt ist.
Es scheint also, dass die Antwort auf meine Frage „nein“ lautet, aber Sie sind sich nicht sicher.
@Joseph: Die Antwort scheint ja zu sein, ich habe die Grenze des Polynoms nicht ausgearbeitet, aber eine analytische Funktion wird normalerweise durch ihre unendliche Menge von Nullen und einige zusätzliche Einschränkungen wie ein Polynom unendlichen Grades angegeben. Ich bin mir nicht sicher, unter welchen Bedingungen die Konvergenz garantiert ist, und die Konvergenz der Determinante ist für keines der physikalischen Ergebnisse erforderlich, aber das mathematische Thema ist die Fredholm-Theorie.
Ich sollte den letzten Kommentar ein wenig erweitern – nehmen wir an, die Eigenwerte sind gebündelt, so dass sie sich zu einem endlichen Wert ansammeln. Dann ist es unmöglich, eine analytische Funktion zu haben, die singularitätsfrei ist λ was die begrenzende charakteristische Determinante ergibt, da die analytischen Funktionen gut beabstandete Nullen haben. Aber eine solche Bündelung erfordert, dass das Potential wie ein H-Atom ins Unendliche begrenzt wird, sodass die Eigenwerte über dem Häufungspunkt kontinuierlich werden und Sie eine durchgehende Nulllinie erhalten, wie der Kehrwert einer Funktion mit einem Schnitt.
Das ist ziemlich interessant. Es scheint immer noch, dass Sie zuerst die Eigenwerte verwenden und dann eine Funktion konstruieren, die wirklich nichts mit der Determinante oder dem charakteristischen Polynom zu tun hat. aber was ich verlangte, war eine Regularisierung der Determinante, die dann verwendet werden könnte, um die Eigenwerte zu finden. Beispielsweise ist die Regularisierung der Zeta-Funktion auch dann sinnvoll, wenn Sie die Eigenwerte noch nicht kennen, und es handelt sich um eine Funktion von Lambda. Und ich habe nach etwas gefragt, das mit einem einheitlichen Operator funktionieren würde, also sind Fredholm-Determinanten in diesem Zusammenhang offensichtlich nicht definiert.
@Joseph: Wenn Sie die Ableitung des Logarithmus der Determinantenfunktion in Bezug auf kennen λ dann kennen Sie die Determinantenfunktion durch Integrieren und Potenzieren. Die Ableitung von log(det(A-\lamdaI)) ist der Green'sche Funktionskern, der in der Fredholm-Theorie 1/(A-\lambda I) verwendet wird, und Sie können dies mit Zeta-Funktionen regulieren.
Nun, es klingt, als wäre es einen Versuch wert, aber die Frage war, wird diese Determinante die Eigenschaft haben, dass ihre Nullen anzeigen, dass der Operator einen Kernel hat? Ohne diese Eigenschaft kann es nicht verwendet werden, um Eigenwerte zu finden, wie es das charakteristische Polynom für endlichdimensionale Determinanten ist ....

Wie Sie bereits erwähnt haben, gibt es viele Möglichkeiten, „Regularisierung“ zu verstehen, und sie wird nicht sehr oft mit diskreten Grenzwerten in Verbindung gebracht. Vielmehr handelt es sich um schmutzige Tricks, um bestimmten Summen / Integralen, die eindeutig voneinander abweichen, eine Bedeutung zu verleihen. Hier ist das Problem anders – wir wissen a priori nicht, WAS dieses divergierende Objekt sein sollte – um Divergenz zu haben, müssen wir eine Grenze haben, und wir haben bisher keine Grenze. Es geht also eher um die Definition als um eine „Regularisierung“, die in späteren Schritten notwendig sein könnte.

Also kann ich eine Definition vorschlagen - wir haben eine Identität für endlichdimensionale Operatoren (nehmen wir an, dass U einheitlich ist) , : d e t ( ich − λ U ) = e x p ( T r ( l n ( ich − λ U ) ) . Das ist immer richtig - weil ich − λ U ist normal und daher diagonalisierbar.

Wir können ln in Taylor-Reihen um 1 erweitern, um zu erhalten (gewöhnliche Taylor-Reihen, wenn U in Eigenbasis ist, keine Probleme mit dem Konvergenzradius, wenn U betrachtet wird - da der Modul aller Eigenwerte von U 1 ist).

d e t ( ich − λ U ) = e x p ( − ∑ n = 1 ∞ λ n n T r ( U n ) )

Jetzt haben wir einen Ausdruck, der explizit einen Grenzwert enthält und gleichzeitig für U einen wohldefinierten Operator im endlichdimensionalen komplexen Hilbert-Raum. Beachten Sie, dass das Erscheinen des Limits ein Nebeneffekt ist, nicht beabsichtigt. Nun können wir fragen, ob dieser Ausdruck Sinn macht, wenn unser Raum unendlich-dimensional wird. Es gibt Sätze, die besagen, dass wenn U beschränkt ist (d.h ∃ M > 0 : ∀ v ∈ v | | U v | | ≤ M | | v | | ) und Trace-Klasse (so dass Trace immer existiert und endlich ist) ist die obige Formel im unendlich dimensionalen Fall gut definiert. Für Einheitsoperatoren laufen diese Anforderungen auf die Dichte ihres Bereichs hinaus, der dicht sein wird (zumindest für vernünftige Hamiltonianer, die diesen Einheitstrafo erzeugen). Der obige Ausdruck ist also im unendlichdimensionalen Hilbert-Raum ohne nahezu signifikante zusätzliche Hypothesen oder „Regularisierung“ gut definiert. Jetzt müssen wir nur noch Nullstellen dieser wohldefinierten 'Zeta'-Funktion finden:

ζ ( λ ) = d e t ( ich − λ U ) = e x p ( − ∑ n = 1 ∞ λ n n T r ( U n ) )
Und ehrlich gesagt habe ich nicht die leiseste Ahnung, wie man das macht! Allerdings bin ich mir ziemlich sicher, dass noch nie jemand bewiesen hat, dass es nicht geht :) . Ich glaube, es wäre nicht allzu schwierig, mit dem Beweis zu beginnen, dass alle Nullstellen auf einem Einheitskreis liegen (komm schon, das wussten wir alle von Anfang an!). Leider habe ich jetzt weder Zeit noch Ideen mich damit zu beschäftigen. Jemand?

Anders ist es, die Wurzeln eines Polynoms endlichen und unendlichen Grades zu finden. Wenn die Wurzeln eines Polynoms endlichen Grades immer existieren, dann ist dies bei unendlichem Grad nicht der Fall, das Beispiel

e x p ( λ ) = ∑ n = 0 ∞ λ n n ! = 0
hat keine exakten endlichen Wurzeln

Regularisierung unendlichdimensionaler Determinanten
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