Verwenden der Dyson-Formel im Schrödinger-Bild

Für das Schrödinger-Bild nehmen Sie einen Zustand$|\psi(t)\rangle$Erfüllung der Schrödinger-Gleichung$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle$, und schreiben Sie einen Zeitentwicklungsoperator U so, dass$|\psi(t)\rangle=U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle$, dann ergibt dies eine Operatorgleichung, die$U$müssen nämlich genügen:

$$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}U(t,t_0)=HU(t,t_0)$$

Die Anfangsbedingung ist die$U(t_0,t_0)=1$.

Für$H$zeitabhängig$U$ist durch die Integralgleichung gegeben

$$U(t,t_0)=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t')U(t',t_0)\,dt'$$

Dies wird formal schriftlich gelöst$U$als zeitlich geordnetes Exponential:

$$U(t,t_0)=\mathcal{T}\exp\left(\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t')\,dt'\right)=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t')\,dt'+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t'} H(t') H(t'')\,dt''\,dt'\ldots$$

Das Obige ist die formale Lösung, die durch Subbing erhalten wird$U$für sich selbst in der Integralgleichung, aber ich glaube, im zweiten Band von Reed und Simon, in ihrem Abschnitt über zeitabhängige Operatoren, zeigen sie einige Fälle, in denen diese Lösung exakt ist, zB wenn$H$ein beschränkter Operator ist, und bestimmte Fälle der Form$H(t)=H_0+V(t)$, letzterer Fall erfolgt jedoch im Interaktionsbild.

Die Dyson-Serie wird in Messiahs Buch über QM diskutiert, wie ich den Band von Reed und Simon erwähnt habe$2$für ein bisschen mehr Strenge, und es gibt eine nette Passage in einem Buch, das ich gerade lese, von Bohm, Mostafazadeh, Koizumi, Niu, Zwanziger mit dem Titel "The Geometric Phase in Quantum Systems", das es auch ganz nett diskutiert.